Câu 1: Người ta dự định trồng hoa trang trí trên một mảnh đất hình tròn bằng hai loại hoa hồng và hoa lan. Phần hoa hồng trồng trong hình elip cùng tâm với hình tròn, phần còn lại trồng hoa lan (như hình vẽ). Biết rằng phần đất elip có độ dài trục lớn bằng 8m và trục bé bằng 6m. Tính diện tích trồng hoa lan. A. \(16\pi \,\,({m^2})\) B. \(4\pi ({m^2})\) C. \(6\pi \,\,({m^2})\) D. \(10\pi \,\,({m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Xét hệ trục toạ độ Oxy sao cho elip có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow y = \pm 3\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} .\) Diện tích trồng hoa là: \(S = 2\int\limits_{ - 4}^4 3 \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} dx.\) Đặt x = 4 sin t Đổi cận x = -4 sao cho \(t = - \frac{\pi }{2};x = 4\) sao cho \(t = \frac{\pi }{2}\) Khi đó: \(dx = 4\cos t\,dt;\,\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} = c{\rm{ost}}{\rm{.}}\) \(S = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {24\,c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}} t\,dt = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {12(1 + c{\rm{os}}2t} )dt = \left. {12\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 12\pi \,\,({m^2}).\) Diện tích mảnh đất hình tròn là: \(\pi {.4^2} = 16\pi \,\,({m^2}).\) Vậy diện tích đất trồng lan là: \(16\pi \, - \,12\pi = 4\pi \,({m^2})\)
Câu 2: Cho hàm số y=f(x) thoả mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\,f(x)dx = f(0) = 1.} \) Tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{cosx}}\,f'(x)dx.} \) A. I=1 B. I=-1 C. I=0 D. I=2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = c{\rm{osx;}}\,\,{\rm{v = f(x)}}{\rm{.}}\) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\rm{cos}}} x.f'(x)dx = \left. {c{\rm{os}}x.f(x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {( - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx)}}{\rm{.f(x)dx}}} \) \( = - f(0) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.f(x)dx = - 1 + 1 = 0} \)
Câu 3: Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {(x + 1).{e^{ - x}}} dx.\) A. \( - \frac{1}{e}\) B. \(2 - \frac{3}{e}\) C. \( - \frac{3}{e}\) D. \(2 - \frac{1}{e}\) Spoiler: Xem đáp án Sử dụng máy tính cầm tay ta được kết quả, sau đó so sánh với các phương án suy ra đáp án đúng của bài toán. Hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần suy ra kế quả. (Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\) )
Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) như hình vẽ. Tính diện tích phần được tô màu trong hình. A. \(\int\limits_0^4 {|f(x) + g(x)|dx.} \) B. \(\int\limits_0^4 {|f(x) - g(x)|dx.} \) C. \(\int\limits_0^3 {g(x)dx + \int\limits_3^4 {f(x)dx.} } \) D. \(\int\limits_0^3 {f(x)dx + \int\limits_3^4 {g(x)dx.} } \) Spoiler: Xem đáp án Diện tích phần được tô màu trong hình là: \(\int\limits_0^3 {|g(x)|dx + \int\limits_3^4 {|f(x)|dx} } = \int\limits_0^3 {g(x)dx + \int\limits_3^4 {f(x)dx.} } \)
Câu 5: Cho a < c < b. Biết rằng \(\int\limits_a^c {f(x)dx = 7,\int\limits_b^c {f(x)dx = 13.} } \) Tính \(\int\limits_a^b {f(x)dx.} \) A. 20 B. 10 C. -6 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Với \(\int\limits_a^c {f(x)dx = 7,\int\limits_b^c {f(x)dx = 13} } \) với a < c < b, ta có: \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx - \int\limits_b^c {f(x)dx = 7 - } 13 = - 6} } } } \)
Câu 6: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x + 1}}.\) Biết rằng F(-2)=1, hãy tính F(-5). A. F(-5)=ln 5 B. F(-5)= ln5 – ln2 C. F(-5) = ln4 – 1 D. F(-5) = ln 4 + 1. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(F(x) = \int {\frac{1}{{x + 1}}} dx = \ln |x + 1| + C.\) \(F( - 2) = 1 \Leftrightarrow \ln | - 2 + 1| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\) Vậy \(F( - 5) = \ln | - 5 + 1| + 1 = \ln 4 + 1.\)
Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = {(2x + 1)^3}\) A. \(F(x) = \frac{1}{8}{(2x + 1)^4} + C.\) B. \(F(x) = \frac{1}{4}{(2x + 1)^4} + C.\) C. \(F(x) = 6{(2x + 1)^2} + C.\) D. \(F(x) = \frac{1}{2}{(2x + 1)^4} + C.\) Spoiler: Xem đáp án Tính nguyên hàm của hàm số đã cho suy ra đáp án: \(\int {{{(2x + 1)}^3}} dx = \frac{1}{2}\int {{{(2x + 1)}^3}} d(2x + 1) = \frac{1}{2}.\frac{{{{(2x + 1)}^4}}}{4} + C = \frac{1}{8}{(2x + 1)^4} + C.\)
Câu 8: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(x = 0,{\rm{ }}x = 1,y = \frac{1}{{{x^2} + 1}},y = 0,\) quay quanh trục hoành là \(\frac{\pi }{4} + b{\pi ^2}.\) Tìm giá trị của b. A. \(\frac{1}{{10}}\) B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{1}{8}\) D. \(\frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của vật thể là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)}^2}} dx\) Đặt \(x = \tan u\left( {u \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right) \Rightarrow dx = ({\tan ^2}u + 1)du\) Đổi cận: x=0 sao cho u=0, x=1 sao cho \(u = \frac{\pi }{4}\) Khi đó: \(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{({{\tan }^2}u + 1)}^2}}}} .({\tan ^2}u + 1)du = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\tan }^2}u + 1}}} du\) \( = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}} udu = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{\rm{cos2u + 1}}}}{2}} du = \left. {\pi \left( {\frac{{\sin 2u}}{4} + \frac{u}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \frac{{{\pi ^2}}}{8}.\) Vậy giá trị của b là \(\frac{1}{8}\)
Câu 9: Cho hàm số y=f(x) với f(0)=f(1)=1. Biết rằng: \(\int\limits_0^1 {{e^x}} \left[ {f(x) + f'(x)} \right]dx = ae + b.\) Tính \(Q = {a^{2017}} + {b^{2017}}.\) A. Q=0 B. Q=2 C. Q=1 D. Q=-2 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(u = {e^x};v = f(x)\) thì \(\int\limits_0^1 {u.v'dx + } \int\limits_0^1 {v.u'dx = \left. {(u.v)} \right|_0^1} \) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{e^x}} .f'(x)dx + \int\limits_0^1 {{e^x}} .f(x)dx = \left. {\left[ {{e^x}.f(x)} \right]} \right|_0^1\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {{e^x}} \left[ {f(x) + f'(x)} \right]dx = e.f(1) - f(0) = e - 1.\) Do đó \(a = 1;{\rm{ }}b = - 1 \Rightarrow Q = 0\)
Câu 10: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc \(a(t) = 6{t^2} + t\,\,(m/{s^2}).\) Vận tốc ban đầu của vật là 3m/s. Tính vận tốc vật sau 2 giây. A. 21(m/s) B. 25(m/s) C. 12 (m/s) D. 15(m/s) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(v(t) = \int a (t)dt = \int {(6{t^2}} + t)dt = 2{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C.\) Theo đề bài \(v\left( 0 \right) = 3 \Leftrightarrow C = 3.\) Do đó: \(v(t) = 2{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 3.\) Vận tốc của vật sau 2 giây là: \(v(2) = {2.2^3} + \frac{1}{3}{.2^2} + 3 = 21\,\,(m/s)\)
