Câu 1: Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{3^x}}}{{{2^{x - 1}}}}.\) Hỏi khẳng định nào sau đây là sai? A. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x > (x - 1){\log _3}2.\) B. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow \frac{x}{{1 + {{\log }_3}2}} > \frac{{x - 1}}{{1 + {{\log }_2}3}}.\) C. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x\ln 3 > (x - 1)\ln 2.\) D. \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x{\log _{\frac{1}{5}}}3 > (x - 1){\log _5}2.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{3^x}}}{{{2^{x - 1}}}}.\) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\) \(f(x) > 1 \Leftrightarrow \frac{{{3^x}}}{{{2^{x - 1}}}} > 1 \Leftrightarrow {3^x} > {2^{x - 1}}\,\,(1)\) + Lấy logarit cơ số 3 cả hai vế của (1) ta được: \({\log _3}{3^x} > {\log _3}{2^{x - 1}}\) \( \Leftrightarrow x > (x - 1){\log _3}2.\) Suy ra phương án A đúng. + Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế của (1) ta được: \({\log _2}{3^x} > {\log _2}{2^{x - 1}} \Leftrightarrow x{\log _2}3 > (x - 1) \Leftrightarrow \frac{{x{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}3}} > \frac{{x - 1}}{{1 + {{\log }_2}3}}\) \( \Leftrightarrow \frac{x}{{1 + {{\log }_3}2}} > \frac{{x - 1}}{{1 + {{\log }_2}3}}.\) Suy ra phương án B đúng + Lấy logarit cơ số e cả hai vế của (1) ta được: \(\ln {3^x} > \ln {2^{x - 1}} \Leftrightarrow x\ln 3 > (x - 1)\ln 2\) Suy ra phương án C đúng. + Lấy logarit cơ số 5 cả hai vế của (1) ta được: \(\begin{array}{l}{\log _5}{3^x} > \log {2^{x - 1}}\\ \Leftrightarrow x{\log _5}3 > (x - 1){\log _5}2.\end{array}\) Vậy trong các phương án đưa ra, khẳng định sai cần chọn là: \(f(x) > 1 \Leftrightarrow x{\log _{\frac{1}{5}}}3 > (x - 1){\log _5}2.\)
Câu 2: Cho \(a = {\log _2}3\) và \(b = {\log _2}5.\) Tính \({\log _2}\sqrt[5]{{360}}\) theo a, b. A. \(\frac{1}{5}(2a + b + 3)\) B. \(\frac{1}{5}(a + b + 3)\) C. \(\frac{1}{5}(2a + 2b + 3)\) D. \(\frac{1}{5}(2a + b + 1).\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _2}\sqrt[5]{{360}} = \frac{1}{5}{\log _2}360 = \frac{1}{5}{\log _2}({3^2}{.2^3}.5)\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{5}(2{\log _2}3 + {\log _2}{2^3} + {\log _2}5)\\ = \frac{1}{5}(2{\log _2}3 + 3 + {\log _2}5)\\ = \frac{1}{5}(2a + 3 + b).\end{array}\)
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\ln (7x + 8)}}{{\sqrt {1 - x} }}.\) A. \(D = \left( {\frac{{ - 8}}{7}; + \infty } \right)\) B. \(D = ( - \infty ;1).\) C. \(D = \left( {\frac{{ - 8}}{7};1} \right]\) D. \(D = \left( {\frac{{ - 8}}{7};1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\7x + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > - \frac{8}{7}\end{array} \right.\) Tập xác định là: \(D = \left( {\frac{{ - 8}}{7};1} \right)\)
Câu 4: Xét các mệnh đề: \(\begin{array}{l}(I)\,\,{\log _3}7.lo{g_2}5.{\log _{\sqrt {27} }}4.lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt[5]{{47}} < 0\\(II)\,\,{\log _a}18.{\log _{{a^2}}}\sqrt[3]{{20}}.{\log _{{a^3}}}1 > 0\,\,\,(0 < a \ne 1).\end{array}\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. (I) đúng, (II) sai. B. (I) sai, (II) đúng C. Cả (I) và (II) đúng. D. Cả (I) và (II) sai. Spoiler: Xem đáp án Mấu chốt của bài toán này là ta để ý ngay mệnh đề (II) có: \({\log _{{a^3}}}1 = \frac{1}{3}{\log _a}1 = 0\) Nên \({\log _a}18.{\log _{{a^2}}}\sqrt[3]{{20}}.{\log _{{a^3}}}1 = 0\,\,(0 < a \ne 1).\) Suy ra mệnh đề (II) sai. Từ đó ta loại được 2 phương án B và C. Ở mệnh đề (I) ta quy xét dấu của tích về xét dấu của từng thừa số. Cụ thể: \({\log _3}7 > 0;lo{g_2}5 > 0;lo{g_{\sqrt {27} }}4 = \frac{2}{3}{\log _3}4 > 0;lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt[5]{{47}} = - \frac{1}{5}{\log _2}47 < 0\) \( \Rightarrow {\log _3}7.lo{g_2}5.lo{g_{\sqrt {27} }}4.lo{g_{\frac{1}{2}}}\sqrt[5]{{47}} < 0 \Rightarrow \) (I) đúng. Vậy mệnh đề đúng là: (I) đúng, (II) sai.
Câu 5: Cho biết: \({\log _7}2 = a.\) Tính \({\log _{\frac{1}{2}}}28\) theo a. A. \(\frac{a}{{2a - 1}}\) B. \(\frac{{ - 2a + 1}}{a}\) C. \(\frac{{ - (2a + 1)}}{a}\) D. \(\frac{{2(a - 1)}}{a}\) Spoiler: Xem đáp án Theo đề bài a > 0. Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}28 = - ({\log _2}4.7) = - (lo{g_2}4 + {\log _2}7) = - \left( {2 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}} \right) = - \frac{{2a + 1}}{a}\)
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức \(B = {\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {{\rm{cos}}\frac{\pi }{{12}}} \right).\) A. B =-2 B. B=-1 C. B=0 D. B=1 Spoiler: Xem đáp án \(B = {\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) + {\log _2}\left( {{\rm{cos}}\frac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}\left( {2\sin \frac{\pi }{{12}}.{\rm{cos}}\frac{\pi }{{12}}} \right) = {\log _2}.sin\frac{\pi }{6} = - 1.\)
Câu 7: Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \({\log _\pi }(3x - 4) > {\log _\pi }(x - 1).\) A. \(T = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right B. \(T = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) C. \(T = (1; + \infty )\) D. \(T = \left( {\frac{4}{3};\frac{3}{2}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \({\log _\pi }(3x - 4) > {\log _\pi }(x - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4 > x - 1\\x - 1 > 0\end{array} \right.\,\,\,(Vi\,\pi \, > \,1)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x > 3\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}.\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
Câu 8: Trong bốn đồ thị hàm số ở hình vẽ dưới đây có đồ thị của hàm số luỹ thừa \(y = {x^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\) Hãy cho biết đồ thị hàm số \(y = {x^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) là hình nào? A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có hàm số \(y = {x^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) có tập xác định là \((0; + \infty )\) do đó đồ thị hàm số chỉ có thể có dạng ở Hình 1 hoặc Hình 4. Mặt khác \(0 < \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1\) nên “Hình 4” chính là đồ thị của hàm số \(y = {x^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\)
Câu 9: Giải phương trình \({\log _3}(2x + 1) = 2.\) A. \(x = \frac{5}{2}.\) B. \(x = \frac{7}{2}.\) C. \(x = 3\) D. \(x = 4.\) Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình \({\log _3}(2x + 1) = 2 \Leftrightarrow 2x + 1 = 9 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4.\) Nên chọn D. Thử lần lượt các phương án dẫn đến \({\log _3}6;{\log _3}8;{\log _3}7;{\log _3}9.\) Thấy ngay \({\log _3}9 = {\log _3}{3^2} = 2\)
Câu 10: Với điều kiện các biểu thức trong các khẳng định sau có nghĩa. Chọn khẳng định đúng. A. \({\log _{xa}}(xb) = \frac{{{{\log }_b}a + {{\log }_b}x}}{{1 + {{\log }_b}x}}\) B. \({\log _{xa}}(xb) = \frac{{1 + {{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}\) C. \({\log _{xa}}(xb) = \frac{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}}\) D. \({\log _{xa}}(xb) = \frac{{1 + {{\log }_a}x}}{{1 + \log bx}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({\log _{ax}}(bx) = \frac{{{{\log }_a}(bx)}}{{{{\log }_a}(ax)}} = \frac{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}}\) \( \Rightarrow {\log _{xa}}(xb) = \frac{{{{\log }_a}b + {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}}\)
