Câu 1: Số lượng của một loài vi khuẩn sau t (giờ) được ước tính theo công thức \(Q = {Q_0}.{e^{0,195t}},{Q_0}\) là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 con thì sau khoảng bao lâu có 100 000 con? A. 24(giờ) B. 15,36(giờ) C. 3,55(giờ) D. 20(giờ) Spoiler: Xem đáp án \(Q = {Q_0}.{e^{0,195t}}.\) Thay \({Q_0} = 5000;Q = 100\,\,000\) vào ta được: \(\begin{array}{l}100\,\,000 = 5000.{e^{0,195t}}\\ \Leftrightarrow {e^{0,195t}} = 20\\ \Leftrightarrow 0,195t = \ln 20\\ \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 20}}{{0,195}} \approx 15,36.\end{array}\) Vậy sau khoảng 15,36 giờ thì số lượng vi khuẩn có 100 000 con.
Câu 2: Cho phương trình \({3^{{x^2} + 6x - 27}} = - {x^2} + 6x - 9.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Phương trình vô nghiệm B. Phương trình có 1 nghiệm C. Phương trình có 2 nghiệm D. Phương trình vô số nghiệm Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình: \({3^{{x^2} + 6x - 27}} = - {x^2} + 6x - 9.\) Ta có: \( - {x^2} + 6x - 9 = - ({x^2} - 6x + 9) = - {(x - 3)^2} \le 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) \({3^{{x^2} + 6x - 27}} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Nhận xét: Học sinh có thể nhầm lẫn với việc \({3^0} = 0\) từ đó dẫn đến nhầm lẫn phương trình có một nghiệm x = 3.
Câu 3: Tính \(P = {5^{{{\log }_{125}}27}} + {3^{1 + {{\log }_9}4}}.\) A. P=27 B. P = 9 C. P=19710 D. P=15 Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Có thể dùng máy tính sẽ được ngay kết quả P=9 Cách 2: Ta có \(\begin{array}{l}{5^{{{\log }_{125}}27}} = {5^{{{\log }_{{5^3}}}{3^2}}} = {5^{{{\log }_5}3}} = 3\\{3^{1 + {{\log }_9}4}} = {3.3^{{{\log }_{{3^2}}}{2^2}}} = {3.3^{{{\log }_3}2}} = 3.2 = 6\end{array}\) Vậy P = 3 + 6 = 9
Câu 4: Tìm tập nghiệm T của bất phương trình \({\left( {\frac{7}{3}} \right)^{4{x^2} - 5x}} < \frac{3}{7}.\) A. \(T = \left( { - \infty ;\frac{1}{4}} \right) \cup (1; + \infty )\) B. \(T = ( - \infty ;1)\) C. \(T = \left( {\frac{1}{4};1} \right)\) D. \(T = \left( { - 1; - \frac{1}{4}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án \({\left( {\frac{7}{3}} \right)^{4{x^2} - 5x}} < \frac{3}{7} \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{3}} \right)^{4{x^2} - 5x}} < {\left( {\frac{7}{3}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x < - 1\) \( \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} < x < 1.\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( {\frac{1}{4};1} \right)\)
Câu 5: Đồ thị hàm số \(y = {(x - 1)^\alpha }\) luôn đi qua điểm nào với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}?\) A. A(2;1) B. B(1;1) C. C(1;0) D. D(3;2) Spoiler: Xem đáp án Để hàm số \(y = {(x - 1)^\alpha }\) luôn đi qua một điểm với mọi giá trị của \(\alpha \in \mathbb{R}\)thì: \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = {1^\alpha } = 1,\forall \alpha \in \mathbb{R}.\) Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(2;1) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Câu 6: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4 %/năm và tiền lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp 3 lần số tiền ban đầu? A. 10 (năm) B. 12 (năm) C. 13 (năm) D. 14 (năm) Spoiler: Xem đáp án Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm số tiền thu được là: \({P_n} = P{(1 + 0,084)^n} = P.{(1,084)^n}\) Để \({P_n} = 3P\) thì \(P.{(1,084)^n} = 3P \Leftrightarrow n = {\log _{1,084}}3 \approx 13,62.\) Vì n là số tự nhiên nên chọn n=14. Vậy muốn thu được số tiền gấp ba lần số tiền ban đầu thì người đó phải gửi tiền tiết kiệm sau 14 năm.
Câu 7: Bác Hoàng gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất \(8\% \) /năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, bác Hoàng sẽ có ít nhất 50 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi) A. 13 năm B. 14 năm C. 15 năm D. 16 năm Spoiler: Xem đáp án Sau năm thứ nhất, bác Hoàng có số tiền lãi là: 15.0,08 (triệu đồng) Sau năm thứ nhất, bác Hoàng có số tiền cả vốn lẫn lãi là: 15+15.0,08=15(1+0,08) (triệu đồng) Sau năm thứ hai, bác Hoàng có cả số vốn lẫn lãi là: \(15.{\rm{ }}\left( {1 + 0,08} \right){\rm{ }} + 15.\left( {1 + 0,08} \right).0,08 = 15{\left( {1 + 0,08} \right)^2}\) (triệu đồng) Tương tự, sau n năm, thì bác Hoàng có cả vốn lẫn lãi là: \(15.{(1 + 0,08)^n} = 15.{(1,08)^n}\) (triệu đồng) Để số tiền ít nhất là 50 triệu đồng thì: \(15.{(1,08)^n} \ge 50 \Leftrightarrow {(1,08)^n} \ge \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,08}}\frac{{10}}{3}\) Vậy sau 16 năm thì bác Hoàng sẽ có ít nhất 50 triệu đồng.
Câu 8: Cho số thực a thoả mãn \({(2 - a)^{\frac{3}{4}}} > {(2 - a)^2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(a < 1\) B. \(a = 1\) C. \(1 < a < 2\) D. \(a \le 1\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(\frac{3}{4} < 2\) nên từ: \({(2 - a)^{\frac{3}{4}}} > {(2 - a)^2}\) ta suy ra: \(0 < 2 - a < 1 \Leftrightarrow 2 > a > 1.\) . Vậy 1< a < 2.
Câu 9: Rút gọn \(P = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}}\,\,(b > 0).\) A. \(P = {b^{\frac{6}{5}}}.\) B. \(P = {b^{\frac{1}{{30}}}}.\) C. \(P = 1\) D. \(P = {b^{\frac{5}{6}}}.\) Spoiler: Xem đáp án Với điều kiện b>0, ta có: \(P = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}}\,\, = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b.{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{b^{\frac{5}{{2.5}}}}}}{{{b^{\frac{3}{{2.3}}}}}} = 1\) Vậy P=1
Câu 10: Cho các hàm số sau: \(y = f(x) = {(2x)^{ - 3}};y = g(x) = {\left( {\sqrt[3]{4}} \right)^x};y = h(x) = {x^2};y = k(x) = |x|.\) Trong các hàm số trên hàm số nào là hàm số mũ? A. \(y = g(x).\) B. \(y = f(x);y = h(x).\) C. \(y = f(x);y = g(x);y = h(x)\) D. Tất cả các hàm số đã cho. Spoiler: Xem đáp án Hàm số mũ là hàm có dạng \(y = {a^x},(0 < a \ne 1).\) Ta có \(y = g(x) = {\left( {\sqrt[3]{4}} \right)^x} = {\left( {{4^{\frac{1}{3}}}} \right)^x} = {4^{\frac{x}{3}}}.\) Trong các hàm số đã cho thì hàm số mũ là hàm số y=g(x). Nhận xét: Trong bài này học sinh có thể dễ bị nhầm giữa hàm số luỹ thừa và hàm số mũ.
