Câu 1: Cho các số phức z thoả mãn |z-i|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(2+i)z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn đó. A. I(1;-2) B. I(1;1) C. I(0;1) D. I(-1;2) Spoiler: Xem đáp án Đặt \({\rm{w}} = x + iy\,\,\,(x,y\, \in \mathbb{R}).\) \(\begin{array}{l}{\rm{w}} = (2 + i)z \Leftrightarrow x + iy = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{x + iy}}{{2 + i}} = \frac{{(x + iy)(2 - i)}}{{(2 + i)(2 - i)}}.\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y + ( - x + 2y)i}}{5}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i.\end{array}\) \(\begin{array}{l}|z - i| = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y}}{5}i - i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{2x + y}}{5} + \frac{{ - x + 2y - 5}}{5}i} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{{2x + y}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - x + 2y - 5}}{5}} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + {y^2} + 4xy + {x^2} + 4{y^2} + 25 - 4xy + 10x - 20y = 100\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 20.\end{array}\) Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn tâm I(-1;2)
Câu 2: Cho số phức\(z = \frac{{1 + i}}{{1 - i}}.\) Tính giá trị của \({z^{2016}} - {\left( {\bar z} \right)^{2013}}.\) A. 1-i B. 2i C. 1+i D. 2 Spoiler: Xem đáp án \(z = \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{{{(1 + i)}^2}}}{{{1^2} - {i^2}}} = \frac{{2i}}{2} = i\) Ta có: \({z^{2016}} = {i^{2016}} = {({i^2})^{1008}} = 1\) \({(\bar z)^{2013}} = {( - i)^{2013}} = - {({i^2})^{1006}}.i = - i\) Do đó: \({z^{2016}} - {\left( {\bar z} \right)^{2013}} = 1 - ( - i) = 1 + i\)
Câu 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\bar z\) biết (2-i)z=5i. A. \(\bar z\)có phần thực là -1 và phần ảo 2i B. \(\bar z\) có phần thực là -1 và phần ảo 2. C. \(\bar z\) có phần thực là -1 và phần ảo -2i D. \(\bar z\) có phần thực là -1 và phần ảo là -2. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( {2 - i} \right)z = 5i \Leftrightarrow z = \frac{{5i}}{{2 - i}}.\) Dùng máy tính cầm tay bấm ra kết quả hoặc khai triển, rút gọn ta được kết quả z = -1 + 2i Từ đó suy ra \(\bar z = - 1 - 2i\) Vậy số phức \(\bar z\) có phần thực bằng -1; phần ảo bằng -2.
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: \(iz = \bar z\) A. Đường thẳng y = -x B. Đường thẳng y = x C. Trục Ox D. Điểm O(0;0) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) \(\begin{array}{l}iz = \bar z \Leftrightarrow i(x + yi) = x - yi\\ \Leftrightarrow - y + xi = x - yi\\ \Leftrightarrow y = - x\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn đề bài là đường thẳng y=-x.
Câu 5: Giải phương trình \((1 - 3i)z + 2 + 5i = (2 + i)z.\) A. \(z = \frac{4}{{13}} - \frac{{19}}{{13}}i\) B. \(z = - \frac{{22}}{{17}} + \frac{3}{{17}}i\) C. \(z = \frac{{22}}{{17}} - \frac{3}{{17}}i\) D. \(z = \frac{6}{5} + \frac{1}{5}i\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}(1 - 3i)z + 2 + 5i = (2 + i)z\\ \Leftrightarrow (1 - 3i - 2 - i)z = - 2 - 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{1 + 4i}}.\end{array}\) Dùng máy tính cầm tay bấm ra kết quả hoặc khai triển, rút gọn ta được nghiệm của phương trình là \(z = \frac{{22}}{{17}} - \frac{3}{{17}}i\)
Câu 6: Tính môđun của số phức z=-2i + 7 A. \(\sqrt {45} \) B. \(\sqrt {53} \) C. 53 D. 45 Spoiler: Xem đáp án Sử dụng công thức tính môđun của số phức ta có: Với \(z = - 2i{\rm{ }} + {\rm{ }}7 = 7 - 2i \Rightarrow |z| = \sqrt {{7^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {53} \)
Câu 7: Cho số phức \(z = \frac{{i - m}}{{1 - m(m - 2i)}},m \in \mathbb{R}.\) Tìm m để số phức z có môđun lớn nhất. A. m=-1 B. m=0 C. m=1 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án Biến đổi \(z = \frac{{i - m}}{{1 - m(m - 2i)}},m \in \mathbb{R}\) về dạng \(z = a + bi,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) \(z = \frac{{i - m}}{{1 - m(m - 2i)}} = \frac{{(i - m)(1 - {m^2} - 2mi)}}{{(1 - {m^2} + 2mi)(1 - {m^2} - 2mi)}} = \frac{m}{{{m^2} + 1}} + \frac{1}{{{m^2} + 1}}i\) Tính môđun của z \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{{m^2} + 1}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{{{m^2} + 1}}} \) Vì \({m^2} \ge 0\,\,\forall m \Rightarrow {m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{{{m^2} + 1}} \le 1 \Leftrightarrow |z| \le 1.\) Dấu “=” xảy ra khi m=0. Vậy số phức z có môđun lớn nhất bằng 1, khi m=0.
Câu 8: Kí hiệu \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0.\) Tính \(|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}.\) A. 4 B. \(2\sqrt {10} \) C. 10 D. 20 Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0.\) Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - 10 = - 9 = 9{i^2}.\) \( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phức là: \({z_1} = - 1 - 3i;\,{z_2} = - 1 + 3i\) Khi đó: \(|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} = {\rm{[}}{( - 1)^2} + {( - 3)^2}{\rm{]}} + {\rm{[}}{( - 1)^2} + {3^2}{\rm{]}} = 20.\)
Câu 9: Trong mặt phẳng (Oxy), tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn \(|z - (1 + i)| = 1.\) A. Đường tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1 B. Hình tròn tâm I(1;1), bán kính R = 1 C. Đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 D. Hình tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R}).\) \(\begin{array}{l}|z - (1 + i)| = 1 \Leftrightarrow |x + yi - (1 + i)| = 1\\ \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 1)i| = 1\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 1\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn đề bài là đường tròn tâm I(1;1), bán kính R =1.
Câu 10: Giải phương trình \((4 - 3i)z + 3 - 5i = 2 + i.\) A. \(z = \frac{{ - 22}}{{25}} + \frac{{21}}{{25}}i.\) B. \(z = \frac{{14}}{{25}} + \frac{{21}}{{25}}i\) C. \(z = \frac{{ - 22}}{7} + \frac{{21}}{7}i.\) D. \(z = 2 + 3i.\) Spoiler: Xem đáp án Biến đổi ta được \(z = \frac{{6i - 1}}{{4 - 3i}}.\) Dùng máy tính hoặc tính toán, rút gọn (nhân liên hợp) ta được \(z = \frac{{ - 22}}{{25}} + \frac{{21}}{{25}}i.\)
