Câu 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại. C. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị. D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu. Câu 2: Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB. A. \(AB = 2\sqrt 2\) B. \(AB = 4\sqrt 2\) C. \(AB = \sqrt 2\) D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\) Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\) có duy nhất một điểm cực trị. A. \(m = 0\) B. \(m \le - 3\) C. \(m <3\) D. \(m >-3\) Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 5: Biết \(M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x=2. A. f(2) = 1 B. f(2) = -3 C. f(2) = -7 D. f(2) = -11 Hướng dẫn giải: Câu 1: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị. Lưu ý: Hàm số \(f(x)\) vẫn có thể có cực trị tại điểm \(x_0\) mà tại đó \(f'(x)\) không xác định. Câu 2: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Vậy tọa độ các điểm cực trị là: \(A\left( {1, - 1} \right);B\left( { - 1,3} \right)\) \(\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{(3 - 1)}^2}} = 2\sqrt 2\). Câu 3: \(\begin{array}{l} y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\\ y' = - 8{x^3} + 2(m + 3)x = 2x( - 4{x^2} + m + 3)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ - 4{x^2} + m + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ m + 3 = 4{x^2}(*) \end{array} \right. \end{array}\) Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0. Điều này xảy ra khi: \(m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 3.\) Câu 4: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đạt cực trị tại x=1 và x=2. Câu 5: Hàm số\(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) (1) \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) (2) Do M,N là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, nên thay tọa độ M,N vào (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} d = 5\\ 8a + 4b + 2c + d = - 11\\ c = 5\\ 12a + 4b + c = - 11 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{5}{2}\\ b = - \frac{{23}}{2}\\ c = 5\\ d = 5 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{23}}{2}{x^2} + 5x + 5 \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 11\).