Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng \((2;+\infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). B. Đường thẳng y =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). C. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). D. Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Câu 2: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\) A. \(y = 1.\) B. \(y = \frac{3}{2}.\) C. \(y = \frac{1}{2}.\) D. \(y = \frac{1}{3}.\) Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}.\) Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 Câu 4: Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng. A. \(m \notin \left\{ { - 1;1} \right\}\) B. \(m\neq 1\) C. \(m\neq -1\) D. Không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 5: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang. A. \(a = 2;b = - 2\) B. \(a = -1;b = - 2\) C. \(a = 2;b = 2\) D. \(a = 1;b = 2\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Câu 2: Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Câu 3: Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}\) có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) suy ra \(y=-1,y=1\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\sqrt 2 }^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} y = + \infty\) suy ra đồ thị hàm số bốn đường tiệm cận đứng. Câu 4: Xét mẫu thức: \(x - m = 0\) khi x=m. Để đường thẳng x=m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử thức tức là \(m.m - 1 \ne 0\) nên \(m\neq 1\) và \(m\neq -1\). Câu 5: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,(c \ne 0;ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_0}\) với \(x_0\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} c{x_0} + d = 0\\ a{x_0} + b \ne 0 \end{array} \right..\) Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}.\) Suy ra: Tiệm cận đứng \(x = \frac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2.\) Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{b} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1.\) Thử lại với a=1, b=2 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{2}.\)
