Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1. B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1). D. Hàm số không có điểm cực đại. Câu 2: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\) A. \(x=\pm 1\) B. \(x=- 1\) C. \(x= 1\) D. \(x=0\) Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2]. A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\) B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\) C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\) D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\) Câu 4: Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1). B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\). C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1.\) A. M=5 B. M=4 C. M=6 D. M=7 Câu 6: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Câu 7: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}m{x^2}\) có điểm cực đại x1 điểm cực tiểu x2 sao cho \(- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2.\) A. \(m>0\) B. \(m<0\) C. \(m=0\) D. Không tồn tại m Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1]. A. \(m\geq 1\) B. \(m \leq 1\) C. \(0\leq m \leq 1\) D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\) Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng. A. \(m=0\) B. \(m\leq 0\) C. \(m \in \left\{ {0;4} \right\}\) D. \(m \ge 4\) Câu 10: Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\) B. \(a < 0,b < 0,c > 0,d < 0\) C. \(a > 0,b < 0,c < 0,d > 0\) D. \(a < 0,b > 0,c < 0,d < 0\) Câu 11: Hình vẽ bên là đồ thị của một hàm trùng phương y=f(x). Tìm giá trị của m để phương trình |f(x)|=m có 4 nghiệm đôi một khác nhau. A. $-3<m<1$ B. $m=0 hoặc m=3$ C. $m=0$ D. $1<m<3$ Gợi ý lời giải: Câu 1: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và không có điểm cực đại. Câu 2: Xét hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\) \(\begin{array}{l} y' = - 4{x^3} + 4x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$. Câu 3: Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (do \(x\in [0;2]\)) Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \frac{2}{5}\) Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{2}.\) Câu 4: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có thể chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của \({x_1} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Với \(x_1<x_2\) mà \(f(x_1)<f(x_2)\) thì hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\). Câu 5: \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\) Đặt \(t = \cos x,\,\,1 - \le t \le 1\) Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, - 1 \le t \le t\) \(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}\) Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( - 1) = - 2\) Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là $M=6$. Câu 6: Đặt \(t = \sin x,\) Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(0<t<1\). Khi đó hàm số trở thành: \(y = \frac{{(m - 1)t - 2}}{{t - m}}\) \(y' = \frac{{ - m(m - 1) + 2}}{{{{(t - m)}^2}}} = \frac{{ - {m^2} + m + 2}}{{{{(t - m)}^2}}}\) Với m=-1 và m=2 thì y'=0 hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Với \(m\neq -1\) và \(m\neq 2\) để hàm số đồng biến trên (0;1) thì: \(\left\{ \begin{array}{l} y' > 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\) Câu 7: Ta có: \(y' = {x^2} + mx\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - m \end{array} \right.\) Vì phương trình y'=0 luôn có một nghiệm x=0 nên không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 8: \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1]. \(\begin{array}{l} y' = \frac{{ - {x^4} - 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - (x - 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = - 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\) Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \frac{3}{4}.\) Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\). Câu 9: Để hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ {x^2} - mx + m = 0 \end{array} \right.\) phải có có duy nhất một nghiệm. Hay phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) có nghiệm kép khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. Ta có: x=1 không là nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m = 0.\) Suy ra phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) phải có nghiệm kép điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right.\). Câu 10: Do khi x đến dương vô cùng thì y đến âm vô cùng nên a âm. Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ âm nên d âm: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) Từ đồ thị hàm số suy ra 2 điểm cực trị của hàm số có một điểm âm và một điểm dương trong đó điểm dương xa O hơn điểm âm tức là có trị tuyệt đối lớn hơn. Gọi hoành độ 2 điểm này là \({x_1},{x_2}\). Ta có \({x_1}.{x_1} < 0\) và \({x_1} + {x_2} > 0\). Theo định lý Viet: \({x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\) và \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}}\) lại có a âm nên c>0, b>0. Câu 11: Xác định đồ thị hàm số y = |f(x)| từ đồ thị hàm số y = f(x) ta làm như sau: + Giữ nguyên phần đồ thì hàm số y = f(x) phía trên trục Ox. + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f(x) phía dưới trục Ox qua trục Ox và xóa phần đồ thị hàm số y = f(x) phía dưới trục Ox ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình trên. Dựa vào đồ thị hàm số y = |f(x)| ta thấy phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi m=0 hoặc m=3.