Câu 1: Tính P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}.\) A. \(P= - 2\sqrt 3\) B. \(P= 2\sqrt 3\) C. \(P= 3\) D. \(P= -3\) Câu 2: Tính S là tổng các nghiệm của phương trình \({16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = {0,125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}.\) A. \(S=0\) B. \(S=10\) C. \(S=20\) D. \(S=25\) Câu 3: Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \({x_1} + {x_2} = - 2\) B. \({x_1} . {x_2} = - 1\) C. \(2{x_1} + {x_2} = 0\) D. \({x_1} +2 {x_2} = - 1\) Câu 4: Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Câu 5: Tìm P là tích các nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} - x}} - {2^{x + 8}} = 8 + 2x - {x^2}.\) A. P=-4 B. P=-6 C. P=-8 D. P=-10 Câu 6: Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(m < \frac{1}{3}\) B. \(m > \sqrt{10}\) C. \(3 < m < \sqrt{10}\) D. \(1 \leq m < 3\) Câu 7: Tìm tập nghiệm S của phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x).\) A. \(S = \left\{ {0;1} \right\}\) B. \(S = \left\{ {0;2.3^{50}} \right\}\) C. \(S = \left\{ {0} \right\}\) D. \(S = \mathbb{R}\) Câu 8: Phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}\) có bao nhiêu nghiệm? A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Câu 9: Phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}.\)Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.\) A. P=8 B. P=2 C. \(P=\frac{1}{4}\) D. \(P=\frac{33}{4}\) Câu 10: Tìm m để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất. A. \(m=\pm1\) B. \(m=\pm3\) C. \(m=\pm 2\) D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải: Câu 1: \(\begin{array}{l} {2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 1}} - {3.3^{{x^2} - 1}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^3}{.2^{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 1}}(1 + 8) = {3^{{x^2} - 1}}(1 + 3)\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{x^2} - 1}} = \frac{4}{9} \end{array}\) \(\Leftrightarrow {x^2} - 1 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3\) Vậy tích hai nghiệm P=-3. Câu 2: \(\begin{array}{l} {16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = {0,125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}} \Leftrightarrow {2^{4.\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = \frac{1}{8}{.2^{3.\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}\\ \Leftrightarrow {2^{\frac{{4x + 40}}{{x - 10}}}} = {2^{\frac{{3x + 15}}{{x - 15}} - 3}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4x + 40}}{{x - 10}} = \frac{{3x + 15}}{{x - 15}} - 3 = \frac{{60}}{{x - 15}}(x \ne 10;x \ne 15)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 20} \end{array}} \right. \end{array}\) Câu 3: \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {4.3^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{3^x} = 1}\\ {{3^x} = \frac{1}{3}} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = - 1} \end{array} \Rightarrow {x_1} = - 1,{x_2} = 0} \right.} \right.\) Câu 4: \(\begin{array}{*{20}{l}} {{2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15 \Leftrightarrow {{4.2}^x} - \frac{4}{{{2^x}}} - 15 = 0}\\ { \Leftrightarrow 4.{{({2^x})}^2} - {{15.2}^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 4}\\ {{2^x} = - \frac{1}{4}(Loai)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2} \end{array}\) Câu 5: Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - x\\ v = x + 8 \end{array} \right. \Rightarrow v - u = 8 + 2x - {x^2}.\) Khi đó phương trình trở thành: \({2^u} - {2^v} = v - u \Leftrightarrow {2^u} + u = {2^v} + v \Rightarrow f(u) = f(v).\) Xét hàm số: \(f(t) = {2^t} + t,\,f'(t) = {2^t}\ln > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow f'(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) mà \(f(u) = f(v) \Rightarrow u = v \Leftrightarrow {x^2} - x = x + 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = - 2 \end{array} \right.\) Câu 6: Đặt 2x = t > 0 khi đó phương trình đã cho tương đương với \(t + 3 = m\sqrt {{t^2} + 1} \ (1)\) Từ (1) ta có \(m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) và đường thẳng y = m Xét hàm số: \(f(t) = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) với \(t \in (0; + \infty )\) Ta có: \(f'(t) = \frac{{1 - 3t}}{{({t^2} + 1)\sqrt {{t^2} + 1} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\) Lập nhanh bảng biến thiên ta thấy ngay được khi \(3 < m < \sqrt {10}\) thì đường thẳng y=m và đồ thị hàm số \(y = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) cắt nhau tại 2 điểm. Câu 7: Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có: \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\) Câu 8: Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ 3 - 2x > 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset .\) Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 9: \(\begin{array}{l} \log _2^2x - 2{\log _4}(4x) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - (2 - {\log _2}x) - 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {({\log _2}x)^2} - {\log _2}x - 6 = 0 \end{array} \right. \end{array}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ ({\log _2}x - 3)({\log _2}x + 2) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 8}\\ {x = \frac{1}{4}} \end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 8.\frac{1}{4} = 2\) Câu 10: Đặt \(t = {\log _{\sqrt 3 }}x.\) Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0.\) Để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất thì phương trình \({t^2} - mt + 1 = 0\) phải có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)
