Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}.\) A. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \ln {x^2} + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \ln x - \frac{1}{x} + C\) C. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\) Câu 2: Tìm hàm số \(f(x)\) biết rằng \(f'(x) = 2x + 1\) và \(f(1)=5.\) A. \(f(x) = {x^2} + x + 3\) B. \(f(x) = {x^2} + x - 3\) C. \(f(x) = {x^2} + x\) D. \(f(x) = {x^2} -x\) Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( {2x - 1} \right){e^x}dx\). A. \(\int {f(x) = 2x{e^x} + C}\) B. \(\int {f(x) = (2x - 1){e^x} + C}\) C. \(\int {f(x) = (2x - 2){e^x} + C}\) D. \(\int {f(x) = (2x - 3){e^x} + C}\) Câu 4: Cho F(x) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^{3x}}\) thỏa mãn F(0) = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(F(x) = {e^{3x}}\) B. \(F(x) = - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{4}{3}\) C. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}\) D. \(F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x + 1}}\) Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt x \,(x > 0).\) A. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\) B. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}{x^2}\sqrt x + C\) C. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{2}{5}x\sqrt x + C\) D. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \frac{3}{2}\sqrt x + C\) Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \tan x\). A. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\) B. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\cos x} \right| + C\) C. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\sin x} \right| + C\) D. \(\int {f(x)dx} = \ln \left| {\sin x} \right| + C\) Câu 7: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(F(2)=3\). Tính F(1). A. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln \frac{7}{3}\) B. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln \frac{7}{3}\) C. \(F\left( 1 \right) = 3 - \ln 2\) D. \(F\left( 1 \right) = 3 + \ln 2\) Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x({e^x} - 1).\) A. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) - {x^2}}\) B. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -4 {x^2}}\) C. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(x - 1) -2 {x^2}}\) D. \(\int {f(x)dx = 2{e^x}(1-x) - {x^2}}\) Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\) A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\) D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\) Câu 10: Tìm hàm số \(y=f(x)\) biết rằng \(f'(x) = ({x^2} - x)(x + 1)\) và \(f(0)=3.\) A. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3\) B. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3\) C. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + 3\) D. \(y = 3{x^2} - 1\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} + C\) Câu 2: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {f(2x + 1)dx} \\ f(1) = 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = {x^2} + x + C\\ f(x) = {1^2} + 1 + C = 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow f(x) = {x^2} + x + 3 \end{array}\) Câu 3: Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx\\ dv = {e^x}dx \Rightarrow v = {e^x} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \int {(2x - 1){e^x}dx = \left( {2x - 1} \right)} {e^x} - \int {{e^x}2dx} = (2x - 1){e^x} - 2{e^x} + C\) \(= (2x - 3){e^x} + C\) Câu 4: \(F(x) = \int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}} + C\) \(\begin{array}{l} F(0) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{2}{3}\\ F(x) = \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{2}{3}. \end{array}\) Câu 5: \(\int {x\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\) Câu 6: Ta có \(\int {f(x)dx} = \int {\tan xdx} = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}}\) Đặt \(u = \cos \Rightarrow du = - \sin xdx\) Vậy \(\int {f(x)dx} = - \int {\frac{1}{u}du = - \ln \left| u \right|} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\) Câu 7: Ta có: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}dx}\) Đặt: \(u = {x^2} + x + 1 \Rightarrow du = \left( {2x + 1} \right)dx\) Vậy: \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C = \ln \left| {{x^2} + x + 1} \right| + C = \ln ({x^2} + x + 1) + C\) Ta có: \(F(2) = 3 \Rightarrow \ln 7 + C = 3 \Rightarrow C = 3 - \ln 7\) Do đó: \(F\left( 1 \right) = \ln 3 + 3 - \ln 7 = 3 - \ln \frac{7}{3}.\) Câu 8: \(I = \int {2x({e^x} - 1)dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2x\\ dv = ({e^x} - 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2dx\\ v = {e^x} - x \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} I = 2x({e^x} - x) - \int {2({e^x} - x)dx} \\ = 2x({e^x} - x) - (2{e^x} - {x^2}) + C\\ = 2x{e^x} - 2{x^2} - 2{e^x} + {x^2} + C\\ = 2{e^x}(x - 1) - {x^2} + C. \end{array}\) Câu 9: Đặt: \(t = \sqrt {2 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 2 - {x^2} \Rightarrow {x^2} = 2 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}dx = } \int {\left( {{t^2} - 2} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - 2t + C\\ = \frac{1}{3}{\left( {\sqrt {2 - {x^2}} } \right)^3} - 2\sqrt {2 - {x^2}} = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} \end{array}\) Câu 10: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^2} - x)(x + 1)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \int {({x^3} - x)dx} \\ f(0) = 3 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C\\ f(0) = C = 3 \end{array} \right. \Rightarrow f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + 3. \end{array}\)
