Câu 1: Cho \(\int\limits_0^2 {f(x)dx = 3.}\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx.}\) A. I=2 B. I=-1 C. I=6 D. I=8 Câu 2: Tính \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}\) biết \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5;\,\int\limits_b^d {f\left( x \right)} = 2\) với \(a < b < d\). A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = -2\) B. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 7\) C. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 0\) D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3\) Câu 3: Tìm tập hợp giá trị của m sao cho \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 4} \right)dx} = 5.\) A. \(\left\{ 5 \right\}\) B. \(\left\{ 5;-1 \right\}\) C. \(\left\{ 4\right\}\) D. \(\left\{ 4;-1 \right\}\) Câu 4: Cho \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx,}\) đặt \(t = \frac{{\ln x}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt}\) B. \(I = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e - 1}}{{e + 1}}} \right)\) C. \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt}\) D. \(I =\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\frac{1}{{(t - 1)(t + 1)}}dt}.\) Câu 5: Kết quả tích phân \(\int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln a + b\). Tính tổng a+b. A. a+b=5 B. a+b=2 C. a+b=1 D. a+b=7 Hướng dẫn giải: Câu 1: Ta có: \(\begin{array}{l} I = \int\limits_0^2 {\left[ {4f(x) - 3} \right]dx} = 4\int\limits_0^2 {f(x)dx - 3} \int\limits_0^2 {dx} \\ = \left. {4.3 - 3x} \right|_0^2 = 12 - 6 = 6. \end{array}\) Câu 2: \(\begin{array}{l} \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 5\\ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = 3 \end{array}\) Câu 3: \(\int\limits_0^m {(2x - 4)dx} = \left. {\left( {{x^2} - 4x} \right)} \right|_0^m = {m^2} - 4m\) Vậy: \(\int\limits_0^m {\left( {2x - 4} \right)dx} = {m^2} - 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 5 \end{array} \right.\) Câu 4: Đặt: \(t = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow dt = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = e \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} I = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2} - {{\ln }^2}x}}dx} = \int\limits_1^e {\frac{1}{{1 - \frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}}}.\frac{{\ln x - 1}}{{{x^2}}}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{1 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{e}} {\left( {\frac{1}{{t - 1}} - \frac{1}{{t + 1}}} \right)dt} = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{{e - 1}}{{e + 1}}} \right). \end{array}\) Câu 5: \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = A + B\) Tính \(A = \int_0^2 {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_0^2 = 4\) Tính \(B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {x + 1} \right)\\ dv = dx \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\ v = x + 1 \end{array} \right.\) Dùng công thức tích phân từng phần: \(\begin{array}{l} B = \int_0^2 {\left( {\ln \left( {x + 1} \right)} \right)dx} = \left. {\left( {x + 1} \right).\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 - \int_0^2 {\frac{{x + 1}}{{x + 1}}dx} \\ = \left. {3\ln 3 - x} \right|_0^2 = 3\ln 3 - 2 \end{array}\) Vậy: \(I = \int_0^2 {\left( {2x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} dx = 3\ln 3 + 2\)
