Câu 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình. A. \(S = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx}\) B. \(S = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}\) C. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\) D. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}\) Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;x = 1\). A. \(S = \frac{7}{3}\) B. \(S = \frac{8}{5}\) C. \(S = \frac{{38}}{{15}}\) D. \(S = \frac{{64}}{{25}}\) Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x.\) A. \(S = \frac{1}{{16}}\) B. \(S = \frac{1}{{12}}\) C. \(S = \frac{1}{{8}}\) D. \(S = \frac{1}{{4}}\) Câu 4: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0;x = \pi\), biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le \pi } \right)\) là một tam giác đều có cạnh là \(2\sqrt {\sin x}\). A. \(\sqrt 3\) B. \(\frac{\pi }{{\sqrt 3 }}\) C. \(2\sqrt 3\) D. \(2\pi\) Câu 5: Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{4}{{x - 4}},y = 0,x = 0,x = 2\) quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích). A. \(V = 2\pi\) (đvtt) B. \(V = 4\pi\) (đvtt) C. \(V = 6\pi\)(đvtt) D. \(V = 8\pi\)(đvtt) Hướng dẫn giải: Câu 1: Nhìn vào đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0\) với \(x \in \left[ { - 2;0} \right]\) \(\Rightarrow {S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}\) \(f\left( x \right) \le 0\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) \(\Rightarrow {S_2} = \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\) Vậy C là đáp án đúng. Câu 2: Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 5{x^2} + 4 > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;1} \right)\). Suy ra: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)} dx\\ = \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{5}{3}{x^3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{{38}}{{15}}} \right. \end{array}\) Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - x = {x^2} - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Vậy \({S_{HP}} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {({x^2} - {x^3})dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{12}}\) Câu 4: Bài này yêu cầu nắm vững công thức: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}\) Gọi S(x) là diện tích của thiết diện đã cho thì: \(S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {\sin x} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 \sin x\) Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_0^\pi {S\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 3 \sin xdx} = 2\sqrt 3\) Vậy đáp án đúng là C. Câu 5: \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2} - {0^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^2 {\frac{{16}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}dx}=4\pi\)
