Câu 1: Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\) A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\) B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\) C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\) D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\) Câu 2: Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b. A. a+b=2 B. a+b=3 C. a+b=4 D. a+b=5 Câu 3: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\) A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}\) B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}\) C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\) D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\) Câu 4: Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\). A. \(S=\frac{1}{2}\) (đvdt) B. \(S=\frac{1}{3}\) (đvdt) C. \(S=\frac{1}{4}\) (đvdt) D. \(S=\frac{1}{6}\) (đvdt) Câu 5: Biết rằng \(\int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = a\ln 5 + b\ln 2, \left( {a,b \in Z } \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. $a + 2b = 0$ B. $a + b = 0$ C. $a - b = 0$ D. $2a - b = 0$ Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017. A. $2017$ B. $2018$ C. $4034$ D. $4036$ Câu 7: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\,y = x\sqrt {\ln (x + 1)}\) và x = 1 xung quanh trục Ox. A. \(V = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 - 5)\) B. \(V = \frac{{5\pi }}{{18}}\) C. \(V = \frac{{5\pi }}{{6}}\) D. \(V = \frac{\pi }{6}(12\ln 2 - 5)\) Câu 8: Cho \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = 10\). Tính \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx}.\) A. $J=10$ B. $J=-10$ C. $J=-9$ D. $J=9$ Câu 9: Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\) A. \(a = - 2;b = - 8\) B. \(a = 2;b =8\) C. \(a =8;b =2\) D. \(a =-8;b =-2\) Câu 10: Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc \(45^0\) để lấy một hình nêm như hình vẽ. Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tìm V. A. \(V = 2250\,(c{m^3})\) B. \(V = \frac{{225\pi }}{4}(c{m^3})\) C. \(V = 1250\,(c{m^3})\) D. \(V = 1350\,(c{m^3})\) Gợi ý lời giải: Câu 1: \(I = \int {2\sin 2x} dx = - \cos 2x + C.\) Với $C=1$ thì \(I = 1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x.\) Với $C=-1$ thì \(I = - 1 - \cos 2x = - (1 + \cos 2x) = - 2{\cos ^2}x.\) Vậy các hàm số ở phương án A B C đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin 2x.\) Suy ra: D là phương án cần tìm. Câu 2: Xét nguyên hàm: \(\int {\left( {2x + 3} \right){e^x}} dx\) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = 2x + 3}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right.\) Khi đó: \(\int {\left( {2x + 3} \right){e^x}dx} = \left( {2x + 3} \right){e^x} - \int {{e^x}2dx} = \left( {2x + 3} \right){e^x} - 2{e^x} = \left( {2x + 1} \right){e^x}\) Vậy: $a+b=3$. Câu 3: Đặt \({x^2} = t \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\) Đổi cận x=1 thì t=1;x=2 thì t=4. Vậy \(I = \frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} } dt.\) Vậy ta thấy A là phương án cần tìm. Ngoài ra ta còn cách đổi biến số khác với tích phân này: Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 1} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - 1 \Rightarrow tdt = xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = 2 \Rightarrow t = \sqrt 3 \end{array} \right.\) Vậy \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({t^2} + 1){t^2}dt} .\) Ta cũng có thể viết lại: \(I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {({x^2} + 1){x^2}dx}\) (Do tích phân không phụ thuộc vào biến số). Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng y=x là: \({x^2} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\) Vậy diện tích cần phải tính là \(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{1}{6}.\) Câu 5: \(\begin{array}{l} \int\limits_1^5 {\frac{3}{{{x^2} + 3x}}dx} = \int\limits_1^5 {\frac{3}{{x(x + 3)}}dx} = \int\limits_1^5 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^5 - \left. {\left( {\ln \left| {x + 3} \right|} \right)} \right|_1^5 = \ln 5 - \ln 2\\ \Rightarrow a + b = 0. \end{array}\) Câu 6: Tính tích phân: \(I = \int_1^n {\ln xdx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = dx \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}dx\\ v = x \end{array} \right.\) Vậy: \(I = \left. {x\ln x} \right|_1^n - \int_1^n {\frac{x}{x}} dx = n\ln \left( n \right) - n + 1\) Vậy \(P = n - 1.\) Để \(n - 1 \le 2017\) thì \(n \le 2018\) và n nguyên dương. Nên sẽ có 2018 giá trị của n. Câu 7: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln (x + 1)dx}\) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (x + 1)\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\ v = \frac{1}{3}{x^3} \end{array} \right.\) Vậy: \(\begin{array}{l} V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln (x + 1)} \right|_0^1 - \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} } \right] = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right]\\ = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 - \int\limits_0^1 {\left( {({x^2} - x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right] = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 - 5). \end{array}\) Câu 8: Đặt: $t = 1 - x$ ta có: $dt = -dx$ Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\) Khi đó: \(J = \int\limits_1^0 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt {1 - t} + \sqrt t }}} \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt t }}{{\sqrt t + \sqrt {1 - t} }}} \right)dt}\) \(J = \int\limits_0^1 {f\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt {1 - x} }}} \right)dx} = I = 10.\) Câu 9: Ta có: \(f'(x) = - \frac{{3a}}{{{{(x + 1)}^2}}} + b{e^x}(x + 1);f'(0) = - 22 \Leftrightarrow - 3a + 2b = - 22\,(1)\) \(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {f(x)dx = 5} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {a{{\left( {x + 1} \right)}^{ - 3}} + bx{e^x}} \right)dx} = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{a}{{ - 2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + b\left( {\left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} } \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left. {\frac{{ - a}}{{2{{(x + 1)}^2}}}} \right|_0^1 + \left. {bx{e^x}} \right|_0^1 - \left. {b{e^x}} \right|_0^1 \Leftrightarrow \frac{3}{8}a + b = 5\,\,(2) \end{array}\) Từ (1) (2) suy ra $a=8; b=2.$ Câu 10: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình niêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 225\) hay \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right].\) Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, \(x \in \left[ { - 15;15} \right]\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x) như hình vẽ trên. Đặt \(NP = y\) ta có: \(MN = NP.\tan {45^0} = y = \sqrt {15 - {x^2}}\) khi đó \(S(x) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}.(225 - {x^2})\) Suy ra thể tích hình niêm là: \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {(225 - {x^2})dx} = 2250\,(c{m^3}).\)
