Câu 1: Cho số phức \(z= \frac{{1 - i}}{{1 + i}}\). Tính giá trị của \({z^{2016}}\). A. i B. -i C. 1 D. -1 Câu 2: Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\). A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\) B. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\) C. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\) D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\) Câu 3: Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\) A. \(\omega = - 2 - 3i\) B. \(\omega = 2 + 3i\) C. \(\omega = 2 - 3i\) D. \(\omega = - 2 + 3i\) Câu 4: Cho số phức \(z=x+yi\). Tìm phần ảo của số phức \(\frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}}\). A. \(\frac{{ - 2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) B. \(\frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) C. \(\frac{{{y^2} + {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) D. \(\frac{{{y^2} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) Câu 5: Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\) A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 2\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| =5\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(z = \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}}{2} = i\) \({z^{2016}} = {i^{2016}} = {i^{4.504}} = {\left( {i{}^4} \right)^{504}} = 1\) Câu 2: \(\frac{1}{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}} = \frac{1}{{{i^3} + 3{i^2} + 3i + 1}}\)\(= \frac{1}{{ - i - 3 + 3i + 1}} = \frac{1}{{ - 2 + 2i}}\)\(= \frac{{2 + 2i}}{{ - 8}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\) Câu 3: Đặt \(z = a + bi\,\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) \(\begin{array}{l} \frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i \Rightarrow \frac{{5(a - bi + i)}}{{a + bi + 1}} = 2 - i\\ \Rightarrow 5(a - bi + i) = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi + 1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 2(a + 1) + b\\ - 5b + 5 = 2b - (a + 1) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - b = 2\\ a - 7b = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy ta có \(z = 1 + i \Rightarrow {z^2} = 2i \Rightarrow \omega = 1 + (1 + i) + 2i = 2 + 3i.\) Câu 4: Ta có: \(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi \Rightarrow w = \frac{{\bar z + i}}{{iz - 1}} = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{i\left( {x + yi} \right) - 1}}\) \(\Rightarrow w = \frac{{x + \left( {1 - y} \right)i}}{{ - y - 1 + xi}} = \frac{{\left[ {x + \left( {1 - y} \right)i} \right]\left( {y + 1 + xi} \right)}}{{{{\left( {xi} \right)}^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}\) \(= \frac{{x\left( {y + 1} \right) - x\left( {1 - y} \right) + \left( {{x^2} - {y^2} + 1} \right)i}}{{ - {x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{2xy}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2} - {x^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}}i\) Câu 5: \(w = i\left( { - 3 - 4i} \right) + \frac{{25}}{{ - 3 - 4i}} = - 3i + 4 - \frac{{25\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 + 16}} = 1 + i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt 2\)
