Câu 1: Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\). A. \(-\frac{9}{4}\) B. \(\frac{8}{3}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\) Câu 2: Giải phương trình \({z^2} + 2z + 2 = 0\) trên tập số phức ta được hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\). Tính tích \({z_1}.{z_2}\). A. z1.z2=0 B. z1.z2=1 C. z1.z2=2 D. z1.z2=3 Câu 3: Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\) A. \(S=0\) B. \(S=i\) C. \(S=2i\sqrt3\) D. \(S=1\) Câu 4: Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\) A. \({M}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\) B. \({M}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\) C. \({M}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\) D. \({M}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\) Câu 5: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w. A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\) B. \({\rm{w}} = {2^{50}}i\) C. \({\rm{w}} =- {2^{51}}\) D. \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\) Hướng dẫn giải: Câu 1: \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\sqrt {21} }}{4}i}\\ {{z_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt {21} }}{4}i} \end{array}} \right.\) Vậy: \(z_1^2 + z_2^2 = -\frac{9}{4}\) Câu 2: \({z^2} + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = - 1 + i\\ {z_2} = - 1 - i \end{array} \right.\) Vậy \({z_1}.{z_2} = 2\) Câu 3: \(\begin{array}{l} {z^3} - 8 = 0 \Leftrightarrow (z - 2)({z^2} + 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ {z^2} + 2z + 4 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 2\\ z = - 1 + i\sqrt 3 \\ z = - 1 - i\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow S = 0. \end{array}\) Câu 4: \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \frac{{16 + 4i}}{8} = \frac{{i + 4}}{2}\\ z = \frac{{16 - 4i}}{8} = \frac{{ - i + 4}}{2} \end{array} \right.\) Do đó: \({z_0} = \frac{{i + 4}}{2} \Rightarrow i{z_0} = \frac{{ - 1 + 4i}}{2} = - \frac{1}{2} + 2i\) Câu 5: \(\begin{array}{l} {\rm{w}} = {(1 + {z_1})^{100}} + {(1 + {z_2})^{100}}\\ = {\left( {{z_1}^2 + 2{z_1} + 1} \right)^{50}} + {\left( {{z_2}^2 + 2{z_2} + 1} \right)^{50}}\\ = {\left( { - 2{z_1} - 4} \right)^{50}} + {\left( { - 2{z_2} - 4} \right)^{50}}\,(Do\,{z_i}^2 + 4{z_i} + 5 = 0)\\ = {2^{50}}{\left( {{z_1} + 2} \right)^{50}} + {2^{50}}{\left( {{z_2} + 2} \right)^{50}}\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( {{z_1}^2 + 4{z_1} + 4} \right)}^{25}} + {{\left( {{z_2}^2 + 4{z_2} + 4} \right)}^{25}}} \right]\\ = {2^{50}}\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^{25}} + {{\left( { - 1} \right)}^{25}}} \right] = - {2^{51}}. \end{array}\)
