Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu biểu diễn số phức \(\omega = (1 - 2i)z + 3\) trên mặt phẳng phức biết \(\left| {\omega + 2} \right| = 5.\) A. Đường tròn\({(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) B. Đường tròn \({(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) C. Đường tròn \({(x +1)^2} + {(y - 2)^2} = 125\) D. Đường thẳng x=2 Câu 2: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức 1+i, 2+4i, 6+5i trên mặt phẳng phức. Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D sao cho ABDC là hình bình hành. A. z=7+8i B. z=5+2i C. z=-3 D. z=-3+8i Câu 3: Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) trên tập số phức. Tính \(P = {z_1}^4 + {z_2}^4.\) A. P=-14 B. P=14 C. P=-14i D. P=14i Câu 4: Tìm số phức z thỏa \(\left| z \right| + z = 3 + 4i.\) A. \(z = - \frac{7}{6} + 4i\) B. \(z = - \frac{7}{6} - 4i\) C. \(z = \frac{7}{6} - 4i\) D. \(z =- 7+4i\) Câu 5: Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) A. $S=2$ B. $S=2i$ C. $S=i$ D. $S=0$ Hướng dẫn giải: Câu 1: Gọi \(M(x;y),\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) thì M là điểm biểu diễn của số phức \(\omega = x + yi.\) \(\omega = (1 - 2i)z + 3 \Rightarrow z = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}} = \frac{{x - 2y - 3}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i.\)Theo giả thiết: \(\begin{array}{l} \left| {z + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2y + 7}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow {(x - 2y + 7)^2} + {(2x + y - 6)^2} = 325 \end{array}\) Suy ra: \(5{(x - 1)^2} + 5{(y - 4)^2} = 625 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125.\) Câu 2: Theo giả thuyết ta có \(A(1;1),\,B(2;4),\,C(6;5).\) Gọi \(D(x,y)\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 6;y - 5} \right)\) Tứ giác ABDC là hình bình hành khi: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 = x - 6\\ 3 = y - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 7\\ y = 8 \end{array} \right..\) Câu 3: \({z^2} - 2z + 5 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 1 - 2i\\ z = 1 + 2i \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow P = {z_1}^4 + {z_2}^4 = {\left( {{z_1}^2 + {z_2}^2} \right)^2} + 2{z_1}^2.{z_2}^2\\ = {\left( {{{\left( {1 - 2i} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2i} \right)}^2}} \right)^2} - 2{\left( {(1 - 2i)(1 + 2i)} \right)^2} = 36 - 50 = - 14. \end{array}\) Câu 4: Đặt: \(z = a + bi,\,\,(a,b \in \mathbb{R}),\) ta có: \(a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} + bi = 3 + 4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 4\\ a = - \frac{7}{6} \end{array} \right..\) Câu 5: Điều kiện: \(z \ne 0\) Khi đó: \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i \Rightarrow \overline z = \left( {\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i} \right)z \Rightarrow 5\overline z = (3 - 4i)z\) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,(a,b \in\mathbb{R} ,\,\,{a^2} + {b^2} \ne 0)\) Suy ra: \(5(a - bi) = (3 - 4i)(a + bi) \Leftrightarrow 5a - 5bi = (3a + 4b) + (3b - 4a)i \Leftrightarrow a = 2b\,(1)\) Do \(\left| z \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5\,(2)\) Từ (1) (2) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = 2 + i\\ \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow z = - 2 - i \end{array} \right.\)
