Câu 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = {a^3}\sqrt 2\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên \(SA = a\sqrt 3\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = {a^3}\sqrt 3\) Câu 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thể tích V của khối lăng trụ theo a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{16}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{24}\) Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{4}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{2}}\) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. \(V=\frac{1}{6}\) B. \(V=\frac{1}{12}\) C. \(V=\frac{1}{3}\) D. \(V=\frac{2}{3}\) Câu 6: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB’C’D theo a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{{24}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\) Câu 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tính tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC. A. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{6}\) B. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 6\) C. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = \frac{1}{5}\) D. \(\frac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\) Câu 8: Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích \(V_1\) tứ diện A'ABC' theo V. A. \(V_1=\frac{V}{4}\) B. \(V_1=2V\) C. \(V_1=\frac{V}{2}\) D. \(V_1=\frac{V}{3}\) Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). A. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{6}{{\sqrt {34} }}\) B. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}\) C. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{4}}{{\sqrt {34} }}\) D. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{3}}{{\sqrt {34} }}\) Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). A. \(h = \frac{{42}}{5}m\) B. \(h = \frac{{18}}{5}m\) C. \(h = \sqrt {34} m\) D. \(h = \frac{{24}}{5}m\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Gọi x là độ dài cạnh góc vuông \(\Rightarrow {x^2} + {x^2} = 4{a^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \Rightarrow OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Ta có: \(SO = OM.\tan {45^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}.2{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\) Câu 2: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.BA = \frac{{{a^2}}}{2}\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Câu 3: Gọi H là trung điểm của A’B, theo đề ta suy ra: \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right)\) \(\Rightarrow \widehat {AA'H} = {45^0}\) khi đó \(AH = A'H.\tan {45^0} = \frac{a}{2}.\) Vậy: \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\). Câu 4: Ta có: Tam giác A’IC vuông tại I. \(\begin{array}{l} CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\widehat {IA'C} = {30^0}\\ \Rightarrow A'I = \frac{{CI}}{{\tan {{30}^0}}} = \frac{{3a}}{2},\,AI = \frac{a}{2}\\ \Rightarrow AA' = a\sqrt 2 \end{array}\) Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\). Câu 5: Ta có: \(\frac{{{V_{SEBD}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) Mà: \({V_{SCBD}} = \frac{1}{2}V \Rightarrow {V_{SEBD}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3}.\) Câu 6: Khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a có thể tích là \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) Ta có: \(\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD}}{{AD}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{AB'C'D}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{48}}.\) Câu 7: Gọi V là thể tích khối chóp M.ABC. M là trung điểm của CC’ Theo bài ra ta có: \(\frac{{{V_{C'ABM}}}}{{{V_{C'ABC}}}} = \frac{{C'M}}{{C'C}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{C'ABM}} = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}}\) \(\Rightarrow {V_{C'ABM}} = {V_{M.ABC}} = = \frac{1}{2}{V_{C'ABC}} = V\) \(\Rightarrow {V_{C'ABC}} = 2V\) Ta lại có \({V_{C'ABC}} = {V_{AA'B'C'}} = {V_{BA'B'C'}} = 2V\) Nên: \(\left( H \right) = {V_{C'ABC}} + {V_{AA'B'C'}} + {V_{BA'B'C'}} - {V_{MABC}} = 5V\) Vậy \(\frac{{\left( H \right)}}{{{V_{M.ABC}}}} = 5\) Câu 8: Ta có \({S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}} \Rightarrow {V_{CA'B'C'}} = {V_{C'ABC}}\) Mà ta lại có ACC'A’ là hình bình hành nên \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right)\) \(\Rightarrow {V_{C.ABC'}} = {V_{A.ABC'}} \Rightarrow {V_{B.A'B'C'}} = {V_{C'.ABC}} = {V_{A'.ABC'}}\) \(\Rightarrow {V_{A'.ABC'}} = \frac{V}{3}\) Câu 9: Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A Nên: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 6\) \({V_{D.ABC}} = {S_{ABC}}.DA{\rm{ }} = {\rm{ }}8 = {V_{A.BCD}}\) Xét tam giác BCD ta có: \(BC = BD = 5;DC = 4\sqrt 2\) Gọi M là trung điểm của DC thì \(BM \bot DC \Rightarrow BM = \sqrt {17}\) \(\Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}BM.DC = 2\sqrt {34}\) \(\Rightarrow d\left( {A,\left( {DBC} \right)} \right) = \frac{{3.{V_{A.DBC}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}\) Câu 10: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 36\) với \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\) \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} \Rightarrow SA = 6\) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2\sqrt {34}\) \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 5\sqrt {13}\) \({S_{SBC}} = \sqrt {p(p - SB)(p - BC)(p - SC)} = 45\) với \(p = \frac{{SB + BC + SC}}{2}\) Ta có: \({V_{A.SBC}} = {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{SBC}}.d\left( {A,(SBC)} \right)\) \(\Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{24}}{5}\)
