Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. \(V=\frac{1}{6}\) B. \(V=\frac{1}{12}\) C. \(V=\frac{1}{3}\) D. \(V=\frac{2}{3}\) Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích \(V_\1\) của khối tứ diện A’B’C'C. A. \(V_{1} =\frac{V}{4}\) B. \(V_{1} =\frac{V}{3}\) C. \(V_{1} =\frac{V}{2}\) D. \(V_{1} =\frac{2}{3}V\) Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC. A. \(h = \frac{a}{2}\) B. \(h = a\) C. \(h = \frac{3a}{4}\) D. \(h = 3a\) Câu 4: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Tính diện tích xung quanh S của kim tự tháp này. A. \(S=2200\sqrt {346} \,\left( {{m^2}} \right)\) B. \(S=4400\sqrt {346} \left( {{m^2}} \right)\) C. \(S=2420000\left( {{m^3}} \right)\) D.\(S=1100\sqrt {346} \left( {{m^2}} \right)\) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\), hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính chiều cao h của khối chóp H.SBD theo a. A. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) B. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\) C. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\) D. \(h = \frac{{3a}}{5}\) Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(a^3\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). A. \(d = \frac{{6{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\) B. \(d = \frac{{{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\) C. \(d = \frac{{4{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\) D. \(d = \frac{{8{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{195}}\) Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\) D. \(V = 3a^3\) Câu 8: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc \(\widehat{A}\) bằng 600 và cạnh bên AA’ = 2a. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của cạnh SD. Biết rằng khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3\) và tam giác MAC là tam giác đều cạnh a, hãy tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (MAC). A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(d = a\sqrt 3\) Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. A. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}\) B. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) C. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\) D. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Ta có: \(\frac{{{V_{SEBD}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) Mà: \({V_{SCBD}} = \frac{1}{2}V \Rightarrow {V_{SEBD}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3}.\) Câu 2: Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = d(C,(A'B'C').{S_{A'B'C'}}\) Mặt khác:\({V_{A'B'C'B}} = \frac{1}{3}d\left( {C,(A'B'C'} \right)).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}V.\) Câu 3: Gọi x là độ dài cạnh góc vuông của tam giác ABC ta có: \(\sqrt {{x^2} + {x^2}} = 4a \Rightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow {S_{ABC}} = 4{a^2}\) Ta có: \(V = \frac{1}{3}S.h = {a^3} \Rightarrow h = \frac{{3a}}{4}\) Câu 4: Tính diện tích xung quanh của Kim tự tháp chính là tính diện tích của 4 mặt bên của hình chóp tứ giác đều . Gọi O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều. Ta có: \(SO \bot (ABCD),\,SO = 150\) AB=BC=CD=DA=220 Gọi H là trung điểm của CD ta có: \(SH \bot CD\). \(OH = \frac{{AD}}{2} = 110\) \(SH = \sqrt {S{O^2} + O{H^2}} = 10\sqrt {346}\) \({S_{xq}} = 4{S_{SCD}} = 4.\frac{1}{2}CD.SH = 4400\sqrt {346}\). Câu 5: Từ H kẻ HI vuông góc với BD \(\left( {I \in BD} \right)\) và \(HK \bot SI\) suy ra \(HK \bot \left( {SBD} \right).\) Ta có \(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = a\sqrt 3\) và \(HI = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) Suy ra \(HK = \frac{{SH.IH}}{{\sqrt {S{H^2} + I{H^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{{5a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\) Do đó chiều cao của khối chóp H.SBD là \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}.\) Câu 6: Gọi các điểm như hình vẽ. Ta có \(AI \bot BC,SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)\) Suy ra \(BC \bot AK \Rightarrow AK = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\) Ta có: \(V = {a^3},{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = 4a\sqrt 3\) Mà \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Trong tam giác vuông SAI ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}\) Vậy \(d = AK = \sqrt {\frac{{A{S^2}.A{I^2}}}{{A{S^2} + A{I^2}}}} = \frac{{4a\sqrt {195} }}{{65}}.\) Câu 7: Ta có \({V_{A.A'B'C'}} + {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}}\) \(= {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\Rightarrow \widehat {\left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {60^0}\) Khi đó \(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} \Rightarrow AH = \sin {60^0}.4a = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta A'B'C'}}\) \(= 2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{2}\) Vậy thể tích của khối đa diện cần tìm là \({V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}}}{2} = {a^3}\). Câu 8: Xét tam giác ABD có \(\widehat {BAD} = {60^0}\) Nên BAD là tam giác đều cạnh a \(\Rightarrow {S_{BAD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Ta có \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\). Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = {a^3}\sqrt 3\). Câu 9: Thể tích của khối chóp S.ACD là: \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Mà \(\frac{{{V_{S.MAC}}}}{{{V_{S.DAC}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.MAC}} = \frac{{{a^3}}}{4}\). Mặt khác \({V_{S.MAC}} = \frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {MAC} \right)} \right). {S_{\Delta MAC}} = \frac{{{a^3}}}{4}\). \(\Leftrightarrow d\left( {S;\left( {MAC} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{4.{S_{\Delta MAC}}}} = a\sqrt 3\). Câu 10: Vì BC//AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng MN//AD (N thuộc SD). \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.BMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k.{V_{S.ABC}} = \frac{k}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2}.{V_{S.ADC}} = \frac{{{k^2}}}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = \left( {\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2}} \right).{V_{S.ABCD.}} \end{array}\) Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì: \(\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}(Do\,k > 0)\).
