Câu 1: Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương. A. \(S = 4\pi {a^2}\) B. \(S = 2\pi {a^2}\) C. \(S = 8\pi {a^2}\) D. \(S = \pi {a^2}\) Câu 2: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp. Câu 3: Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền. A. \(S = 8\pi {m^2}\) B. \(S = 4\pi {m^2}\) C. \(S = 2\pi {m^2}\) D. \(S = \frac{2\pi {m^2}}{3}\) Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm nào? A. Đỉnh S B. Tâm hình vuông ABCD C. Điểm A D. Trung điểm của SC Câu 5: Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V1 là thể tích khối lập phương, V2 là thể tích khối cầu. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\). A. \(\frac{4}{3}\pi\) B. \(\frac{1}{6}\pi\) C. \(\frac{6}{\pi }\) D. \(\frac{3}{{4\pi }}\) Câu 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ. A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) B. \(a\sqrt 3\) C. \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(a\sqrt 2\) Câu 7: Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có ba kích thước là a, b, c. Tìm bán kính r của mặt cầu bằng? A. \(\frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\) B. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\) C. \(\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}\) D. \(\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{3}\) Câu 8: Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}},\) trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp bốn mặt hình vuông của chiếc hộp. A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{2}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{4}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{6}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{8}\) Câu 9: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp. A. 65,09% B. 47,64% C. 82,55% D. 83,3% Câu 10: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình. A. \(V = 6\pi \left( {d{m^3}} \right)\) B. \(V = 12\pi \left( {d{m^3}} \right)\) C. \(V = 54\pi \left( {d{m^3}} \right)\) D. \(V = 24\pi \left( {d{m^3}} \right)\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương có bán kính \(R = \frac{a}{2}\) nên có diện tích \(S = 4\pi {R^2} = \pi {a^2}.\) Câu 2: 1. Ta có cách xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp như sau: Xác định trục đường tròn của mặt phẳng đáy, tức là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. Lấy giao điểm của trục với trung trực của cạnh bên hình chóp. Vì thế với hình tứ diện và hình chóp đều luôn có mặt cầu ngoại tiếp, nên A và B đúng. 2. Hình hộp chữ nhật luôn có tâm cách đều các đỉnh của hình hộp, do đó luôn xác định được một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật. Vậy D đúng. Chọn phương án C. Câu 3: Tâm mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền. Bán kính R của mặt cầu bằng một nửa độ dài cạnh huyền. Suy ra: \(R = \frac{1}{2}\sqrt {{m^2} + {m^2}} = \frac{{m\sqrt 2 }}{2}\) Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{m\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2\pi {m^2}\) Câu 4: Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác SAC, SBC và SDC là các tam giác vuông cạnh huyền SC. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm của SC. Câu 5: Ta có công thức: \({V_1} = {a^3}\) \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} = \frac{\pi }{6}{a^3}\) \(\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{6}{\pi }\) Vậy đáp án đúng là C. Câu 6: Gọi I là trung điểm của OO’, ta dễ dàng chứng minh được OA = OB = OC = OA’ = OB’= OC’ Nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’. Ta có: \(R = A'I = \sqrt {O'A{'^2} + IO{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Câu 7: Ta có tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật trùng với tâm đối xứng của hình hộp. Như hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm là I, là trung điểm của AC’, bán kính \(r = \frac{{AC'}}{2}\) Tam giác A'C'A vuông tại A' \(\Rightarrow AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = \sqrt {{c^2} + A'C{'^2}} \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) Mặt khác tam giác A'D'C' vuông tại D' \(\Rightarrow A'C' = \sqrt {A'D{'^2} + D'C{'^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) ta có \(r = \frac{1}{2}.\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}\) Câu 8: Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R. Thể tích hình lập phương là \({V_2} = 8{R^3}\) Thể tích quả bóng là \({V_1} = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{6}.\) Câu 9: Gọi bán kính quả bóng bàn là r. Gọi hình hộp chữ nhật chứa ba quả bóng bàn là ABCD.A’B’C’D’. Với ABCD là hình vuông, khi đó AA' = 6r và AB = 2r Thể tích của ba quả bóng bàn là \(\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = 6r.4{r^2} = 24{r^3}\) \({V_{bb}} = 3.\frac{4}{3}\pi {r^3} \Rightarrow {V_{kg}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{bb}} = \left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right){r^3}\) Khi đó, thể tích phần không gian trống trong hộp chiếm:\(\frac{{{V_{kg}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{\left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right)}}{{24}} = 47,64\% .\) Câu 10: Xét mặt cắt và các điểm như hình vẽ. Đường kính khối cầu bằng chiều cao bình nước nên \(OS=2OM\) Ta có thể tích nước tràn ra là thể tích của nửa quả cầu chìm trong bình nước: \(18\pi = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi O{M^3}}}{3} \Leftrightarrow OM = 3\) Áp dụng \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow OB = 12\) Thể tích nước ban đầu là thể tích bình nước hình nón: \({V_n} = \frac{{\pi O{B^2}OS}}{3} = 24\pi\) Thể tích nước còn lại là: \(24\pi - 18\pi = 6\pi\) .
