Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1;2;0),B(3;-1;1)\) và \(C(1;1;1)\). Tính diện tích S của tam giác ABC. A. \(S=1\) B. \(S=\frac{1}{2}\) C. \(S=\sqrt{3}\) D. \(S=\sqrt{2}\) Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right);B\left( {0;0;2} \right);C\left( {1;0;0} \right);D\left( {0; - 1;0} \right)\). Tính thể tích khối tứ diện ABCD. A. 1 B. \(\frac{1}{6}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{1}{2}\) Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;3;-2) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\). A. 2x - y + 3z + 7 = 0 B. 2x + y - 3z + 7 = 0 C. 2x + y + 3z + 7 = 0 D. 2x - y + 3z - 7 = 0 Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa hai điểm A(1;0;1), B(-1;2;2) và song song với trục Ox. A. x + y - z = 0 B. 2y - z + 1 = 0 C. y - 2z + 2 = 0 D. x + 2z - 3 = 0 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. A. \(\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\) B. \(\left( P \right):x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 3\) C. \(\left( P \right):x + y + z - 6 = 0\) D. \(\left( P \right):x + 2y + 3{\rm{z}} - 14 = 0\) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(1;3;-5)\) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. A. \(y - 3z + 4 = 0\) B. \(y - 3z - 8 = 0\) C. \(y - 2z -6 = 0\) D. \(y - 2z + 2 = 0\) Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) và song song \((\alpha )\). A. \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\) B. \(4x + 3y - 12z + 26 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 12z - 78 = 0\) C. \(4x + 3y - 12z - 26 = 0\) D. \(4x + 3y - 12z - 26 = 0\) hoặc \(4x + 3y - 12z + 78 = 0\) Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + my + 3z - 5 = 0\) và \(\left( \beta \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\left( {m,n \in \mathbb{R} } \right)\) . Tìm giá trị của m và n để hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau? A. \(n=m=-4\) B. \(n=-4; m=4\) C. \(n=m=4\) D. \(n=4;m=-4\) Câu 9: Tính thể tích V của tứ diện OABC với A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) với trục Ox, Oy, Oz. A. V=78 B. V=120 C. V=91 D. V=150 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(S\left( {0;0;1} \right),A\left( {1;1;0} \right)\). Hai điểm \(M\left( {m;0;0} \right),N\left( {0;n;0} \right)\) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). A. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 4\) B. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 2\) C. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \sqrt 2\) D. \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = 1\) Hướng dẫn giải: Câu 1: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\)\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;1} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = \sqrt{3}\) Câu 2: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {BA} } \right|\) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right);\,\overrightarrow {BD} = \left( {0; - 1; - 2} \right);\,\overrightarrow {BA} = \left( {1;2;1} \right)\) Do đó ta có: \(\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) \(\Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\left| {\left( { - 2;2; - 1} \right).\left( {1;2;1} \right)} \right| = \frac{1}{6}.\left| { - 2 + 4 - 1} \right| = \frac{1}{6}\) Câu 3: Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng (P) nên có VTPT: \(\overrightarrow n = \overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2; - 1;3)\) Mặt khác mặt phẳng đó đi qua A(1;3;-2) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\) Câu 4: Ta có \(A\left( {1;0;1} \right),{\bf{B}}\left( { - 1;2;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{ox}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_{ox}}} } \right] = \left( {0;1; - 2} \right).\) Vì (P) chứa AB và song song với Ox nên (P) có VTPT \(\overrightarrow {n{ _{\left( P \right)}}} = \left( {0;1; - 2} \right).\) Mặt khác (P) đi qua A nên có phương trình: \(0(x - 1) + (y - 0) - 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow y - 2z + 2 = 0.\) Câu 5: Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C nên ta có tọa độ \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) Vì theo giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC, G(1;2;3) nên ta có \(a = 3;b = 6;c = 9\) Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\). Câu 6: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right),\) trung điểm của AB là \(M(1;2;-2).\) Mặt phẳng cần tìm đi qua \(M(1;2;-2)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {0;1; - 3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình: \(0(x - 1) + 1(y - 2) - 3(z + 2) = 0 \Leftrightarrow y - 3z - 8 = 0.\) Câu 7: Mặt cầu có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=4, và mặt phẳng cần tìm có dạng \(\left( P \right):4{\rm{x}} + 3y - 12{\rm{z}} + m = 0\) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên \({d_{\left( {I,\left( P \right)} \right)}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 26} \right|}}{{13}} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 26\\ m = 78 \end{array} \right.\) Vật các mặt phẳng thỏa là: \(\left[ \begin{array}{l} 4x + 3y - 12z - 26 = 0\\ 4x + 3y - 12z + 78 = 0 \end{array} \right.\) Câu 8: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;m;3} \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( \beta \right)}}} = \left( {n; - 8; - 6} \right) \end{array} \right.\) Với n=0, hai mặt phẳng không song song. Với \(n\ne 0\) ta có: \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) khi \(\frac{2}{n} = \frac{m}{{ - 8}} = \frac{3}{{ - 6}} \Rightarrow n = - 4;m = 4\). Câu 9: Ta có \(A \in Ox;B \in Oy;C \in Oz\) do đó \(A\left( {x;0;0} \right);B\left( {0;y;0} \right);C\left( {0;0;z} \right)\). Khi đó lần lượt thay tọa độ các điểm trên vào phương trình mặt phẳng \(2x - 3y + 5z - 30 = 0\) thì ta lần lượt được \(A\left( {15;0;0} \right);B\left( {0; - 10;0} \right);C\left( {0;0;6} \right)\). Tứ diện OABC có các cạnh bên OA;OB;OC đôi một vuông góc. Do đó: \({V_{OABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OB.OC\) \(= \frac{1}{6}.15.10.6 = 150\). Câu 10: Phương trình mặt phẳng \(\left( {SMN} \right):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z - 1 = 0\) \(\Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{m} + \frac{1}{n} + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} + 1} }} = \frac{{\left| {m + n - mn} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + {m^2}{n^2}} }}\\ = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {1 - 2mn + {m^2}{n^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - mn} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {1 - mn} \right|}}{{\left| {1 - mn} \right|}} = 1\)