Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    • Câu 1:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.
      • A. \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\)
      • B. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\)
      • C. \(AB:x - y + z - 3 = 0\)
      • D. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\)
    • Câu 2:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2.
      • A. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\)
      • B. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\)
      • C. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\)
      • D. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\)
    • Câu 3:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).
      • A. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;4} \right)\)
      • B. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;4} \right)\)
      • C. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3; - 4} \right)\)
      • D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3; - 4} \right)\)
    • Câu 4:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.
      • A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 3t\\ y = 2 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\)
      • B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 1 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\)
      • C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t\\ y = 1 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)
      • D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)
    • Câu 5:
      Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB.
      • A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\)
      • B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 3t\\ y = - 2 + 14t\\ z = 1 - 13t \end{array} \right.\)
      • C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 11t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 3 - 5t \end{array} \right.\)
      • D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3t\\ y = 14t\\ z = 13t \end{array} \right.\)
    • Câu 6:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
      • A. d song song với d’
      • B. d vuông góc và không cắt d’
      • C. d trùng với d’
      • D. d và d’ chéo nhau
    • Câu 7:
      Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
      • A. d cắt và không vuông góc với (P)
      • B. d vuông góc với (P)
      • C. d song song với (P)
      • D. d nằm trong (P)
    • Câu 8:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
      • A. \(d = \sqrt {\frac{{1361}}{{27}}}\)
      • B. \(d = 7\)
      • C. \(d =\frac{13}{2}\)
      • D. \(d = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}}\)
    • Câu 9:
      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\) Tìm \(\alpha\) là số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
      • A. \(\alpha = {30^0}\)
      • B. \(\alpha = {45^0}\)
      • C. \(\alpha = {60^0}\)
      • D. \(\alpha = {90^0}\)
    • Câu 10:
      Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)
      • A. (-1;0;1)
      • B. (-2;0;2)
      • C. (-1;1;0)
      • D. (-2;2;0)

    Hướng dẫn giải:

    Câu 1:
    Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\)
    Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\) đi qua điểm A(1;0;2) nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\).

    Câu 2:
    Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {2;2; - 8} \right)\).

    Do d vuông góc với cả d1 và d2 nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \frac{1}{2}.\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {1;1;4} \right)\)..

    d đi qua M(1;3;-4) nên có phương trình là \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}.\)

    Câu 3:
    Gọi \(\overrightarrow u\) là VTCP của \(\Delta\)

    Mặt phẳng \((P )\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 2;0} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow u = k\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = k\left( { - 2; - 3;4} \right),(k\ne 0)\)

    Với k=1 ta có \(\vec u = \left( { - 2; - 3;4} \right).\)

    Câu 4:
    Ta có đường thẳng d đi qua M(0;0;3), VTCP \(\overrightarrow a = \left( {2;4;1} \right)\)

    Gọi \(\left ( \alpha \right )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d.

    \(\left( \alpha \right) \bot \left( d \right)\) nên \(\left ( \alpha \right )\) nhận \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {2;4;1} \right)\) làm VTPT.

    Phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\)\(\Leftrightarrow 2x + 4y + z - 15 = 0\)

    Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 4t\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)

    Thế vào phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {2t} \right) + 4\left( {4t} \right) + \left( { - 3 + t} \right) - 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{7}\)

    Vậy \(d \cap \left( \alpha \right)\) tại \(B\left( {\frac{{12}}{7};\frac{{24}}{7};\frac{{ - 15}}{7}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{{22}}{7}} \right).\)

    Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc d là:

    \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)

    Câu 5:
    Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;6; - 4} \right)\).

    Đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,\,A(4; - 2;1)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 2} \right) \end{array} \right.\)

    Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB

    \(\begin{array}{l} \Rightarrow H \in AB \Leftrightarrow H(4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OH} = (4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t) \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} OH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Rightarrow - 2(4 - t) + 6( - 2 + 3t) - 4(1 - 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{6}{7} \end{array}\)

    \(\Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{22}}{7};\frac{4}{7}; - \frac{5}{7}} \right)\)

    Đường cao kẻ từ đỉnh O là đường thẳng OH: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,O(0;0;0)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = 7.\overrightarrow {OH} = \left( {22;4; - 5} \right) \end{array} \right.\)

    Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\)

    Câu 6:
    Đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 1;0} \right)\)

    Lấy điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right) \in d\) và \(M'\left( { - 2;2;0} \right) \in d'\)

    Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \ne 0 \Rightarrow\) d và d’ chéo nhau.

    Câu 7:
    \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{u_d}} \left( {1; - 3; - 1} \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \left( {3; - 3;2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 3 + 9 - 2 \ne 0.\)

    Lấy điểm M thuộc d tọa độ có dạng: \(M\left( {t - 1; - 3t; - t + 5} \right)\)

    Thay vào phương trình mặt phẳng (P):

    \(3\left( {t - 1} \right) - 3\left( { - 3t} \right) + 2\left( { - t + 5} \right) + 6 = 0\)

    \(\Leftrightarrow 10t + 13 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{{10}}\)

    Vậy d cắt và không vuông góc với (P).

    Câu 8:
    Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {10;2; - 2} \right) \in \Delta\).

    Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {9;4; - 5} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {9; - 34; - 11} \right).\)

    \({d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}} .\)

    Câu 9:
    Đường thẳng \(d_1\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 3;2;1)\)

    Đường thẳng \(d_2\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1;4; - 5)\)

    Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\)

    Suy ra \(d_1\) và \(d_1\)vuông góc nhau nên \(\alpha = {90^0}.\)

    Câu 10:
    Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\)

    Gọi H là hình chiếu của A trên mp (P) suy ra H là giao điểm của d và (P).

    H thuộc d nên tọa độ có dạng \(H\left( {t;t + 1;t + 2} \right).\) Thay vào phương trình của (P):

    \(t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;0;1} \right).\)