Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB. A. \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\) B. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) C. \(AB:x - y + z - 3 = 0\) D. \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2. A. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\) B. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\) C. \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\) D. \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + z - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):3x - 2y + 6 = 0\). Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của \((P )\) và \((Q )\). Tìm Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\). A. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;4} \right)\) B. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;4} \right)\) C. \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3; - 4} \right)\) D. \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3; - 4} \right)\) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d. A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 3t\\ y = 2 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 1 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t\\ y = 1 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\) Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác OAB có tọa độ các đỉnh là O(0;0;0), A(4;-2;1), B(2;4;-3). Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh O của tam giác OAB. A. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 + 3t\\ y = - 2 + 14t\\ z = 1 - 13t \end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 11t\\ y = - 1 + 2t\\ z = 3 - 5t \end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3t\\ y = 14t\\ z = 13t \end{array} \right.\) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. d song song với d’ B. d vuông góc và không cắt d’ C. d trùng với d’ D. d và d’ chéo nhau Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((P):\,3x - 3y + 2z + 6 = 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. d cắt và không vuông góc với (P) B. d vuông góc với (P) C. d song song với (P) D. d nằm trong (P) Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\) A. \(d = \sqrt {\frac{{1361}}{{27}}}\) B. \(d = 7\) C. \(d =\frac{13}{2}\) D. \(d = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}}\) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3t\\ y = - 1 + 2t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3 + 4t\\ z = 5 - 5t \end{array} \right..\) Tìm \(\alpha\) là số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. A. \(\alpha = {30^0}\) B. \(\alpha = {45^0}\) C. \(\alpha = {60^0}\) D. \(\alpha = {90^0}\) Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\) A. (-1;0;1) B. (-2;0;2) C. (-1;1;0) D. (-2;2;0) Hướng dẫn giải: Câu 1: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\) Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)\) đi qua điểm A(1;0;2) nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\). Câu 2: Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {2;2; - 8} \right)\). Do d vuông góc với cả d1 và d2 nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \frac{1}{2}.\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {1;1;4} \right)\).. d đi qua M(1;3;-4) nên có phương trình là \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}.\) Câu 3: Gọi \(\overrightarrow u\) là VTCP của \(\Delta\) Mặt phẳng \((P )\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 2;0} \right)\) \(\Rightarrow \overrightarrow u = k\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = k\left( { - 2; - 3;4} \right),(k\ne 0)\) Với k=1 ta có \(\vec u = \left( { - 2; - 3;4} \right).\) Câu 4: Ta có đường thẳng d đi qua M(0;0;3), VTCP \(\overrightarrow a = \left( {2;4;1} \right)\) Gọi \(\left ( \alpha \right )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. \(\left( \alpha \right) \bot \left( d \right)\) nên \(\left ( \alpha \right )\) nhận \(\overrightarrow {{n_a}} = \left( {2;4;1} \right)\) làm VTPT. Phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0\)\(\Leftrightarrow 2x + 4y + z - 15 = 0\) Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 4t\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\) Thế vào phương trình \(\left( \alpha \right):2\left( {2t} \right) + 4\left( {4t} \right) + \left( { - 3 + t} \right) - 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{6}{7}\) Vậy \(d \cap \left( \alpha \right)\) tại \(B\left( {\frac{{12}}{7};\frac{{24}}{7};\frac{{ - 15}}{7}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{9}{7};\frac{{10}}{7}; - \frac{{22}}{7}} \right).\) Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc d là: \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\) Câu 5: Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;6; - 4} \right)\). Đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,\,A(4; - 2;1)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 2} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 4 - t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 1 - 2t \end{array} \right.\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên AB \(\begin{array}{l} \Rightarrow H \in AB \Leftrightarrow H(4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OH} = (4 - t; - 2 + 3t;1 - 2t) \end{array}\) \(\begin{array}{l} OH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Rightarrow - 2(4 - t) + 6( - 2 + 3t) - 4(1 - 2t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{6}{7} \end{array}\) \(\Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{22}}{7};\frac{4}{7}; - \frac{5}{7}} \right)\) Đường cao kẻ từ đỉnh O là đường thẳng OH: \(\left\{ \begin{array}{l} Qua\,O(0;0;0)\\ VTCP\,\,\overrightarrow u = 7.\overrightarrow {OH} = \left( {22;4; - 5} \right) \end{array} \right.\) Nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 22t\\ y = 4t\\ z = - 5t \end{array} \right.\) Câu 6: Đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 1;0} \right)\) Lấy điểm \(M\left( { - 2;1;0} \right) \in d\) và \(M'\left( { - 2;2;0} \right) \in d'\) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \ne 0 \Rightarrow\) d và d’ chéo nhau. Câu 7: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{u_d}} \left( {1; - 3; - 1} \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \left( {3; - 3;2} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 3 + 9 - 2 \ne 0.\) Lấy điểm M thuộc d tọa độ có dạng: \(M\left( {t - 1; - 3t; - t + 5} \right)\) Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \(3\left( {t - 1} \right) - 3\left( { - 3t} \right) + 2\left( { - t + 5} \right) + 6 = 0\) \(\Leftrightarrow 10t + 13 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{{10}}\) Vậy d cắt và không vuông góc với (P). Câu 8: Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {10;2; - 2} \right) \in \Delta\). Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {9;4; - 5} \right)\) suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {9; - 34; - 11} \right).\) \({d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}} .\) Câu 9: Đường thẳng \(d_1\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 3;2;1)\) Đường thẳng \(d_2\) có VTCP: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1;4; - 5)\) Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\) Suy ra \(d_1\) và \(d_1\)vuông góc nhau nên \(\alpha = {90^0}.\) Câu 10: Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}.\) Gọi H là hình chiếu của A trên mp (P) suy ra H là giao điểm của d và (P). H thuộc d nên tọa độ có dạng \(H\left( {t;t + 1;t + 2} \right).\) Thay vào phương trình của (P): \(t + t + 1 + t + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;0;1} \right).\)