Câu 1:Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\) A. \(( - \infty ;1) \cup (3; + \infty )\) B. \(( - 3; + \infty )\) C. \(( - \infty ;1);(3; + \infty )\) D. \(( - \infty ;4)\) Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2]. A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\) B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\) C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\) D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\) Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị. A. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 \le m < 0\\ m \ge 1 \end{array} \right.\) B. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\ m > 1 \end{array} \right.\) C. \(\left[ \begin{array}{l} m < 1\\ 0 < m < 1 \end{array} \right.\) D. \(\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 1\\ m \le - 1 \end{array} \right.\) Câu 4: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}\) có bao nhiêu tiệm cận gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Câu 5: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ad > 0, ab < 0 B. bd < 0, ab > 0 C. ab < 0, ad < 0 D. bd > 0, ad > 0 Câu 6: Tìm S là tổng bình phương các nghiệm của phương trình \({5^{3x - 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - {x^2}}}.\) A. S=0 B. S=5 C. S=2 D. S=3 Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {4x - 3} \right)^{\frac{1}{2}}}.\) A. \(D=\mathbb{R}\) B. \(D = \mathbb{R} \backslash \left( {\frac{3}{4}} \right)\) C. \(D = \left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\) D. \(D = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\) Câu 8: Giải bất phương trình \({9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0.\) A. \(x\in\mathbb{R}\) B. \(x \in\mathbb{R} \backslash {\rm{\{ }}0\}\) C. \(x>0\) D. \(x\geq0\) Câu 9: Cho \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b.\) Biểu diễn \({\log _3}135\) theo a và b. A. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{b}\) B. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{b}\) C. \({\log _3}135 = \frac{{3a + b}}{a}\) D. \({\log _3}135 = \frac{{a + 3b}}{a}\) Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt. A. \(\frac{{ - 1}}{4} < 0 < m\) B. \(5 \le m \le \frac{{21}}{4}\) C. \(5 < m < \frac{{21}}{4}\) D. \(\frac{{ - 1}}{4} \le m \le 2\) Câu 11: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\) Tìm hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0.\) A. \(F(x) = \sqrt 3 - \cot x\) B. \(F(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\) C. \(F(x) = - \sqrt 3 - \cot x\) D. \(F(x) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \cot x\) Câu 12: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;1] Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 1 \right) = - 1.\) Tính \(I = \int_0^1 {f'\left( x \right)} dx.\) A. I=1 B. I=2 C. I=-2 D. I=0 Câu 13: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\) B. \(V = \frac{{8{\pi ^2}}}{3}\) C. \(V = 8{\pi ^2}\) D. \(V = 8{\pi }\) Câu 14: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2. A. \(S = \frac{8}{9}\) B. \(S = \frac{16}{3}\) C. \(S = 16\) D. \(S = \frac{8}{3}\) Câu 15: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4. A. \(m=\frac{1}{3}\) B. \(m=\frac{1}{2}\) C. \(m=\frac{2}{3}\) D. \(m=\frac{3}{4}\) Câu 16: Tìm số phức liên hợp của số phức \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2}\) A. \(\overline z = 15 + 5i\) B. \(\overline z = 1 + 3i\) C. \(\overline z = 5 + 5i\) D. \(\overline z = 5 - 15i\) Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right| = 1.\) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn. B. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trục thực. C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trục ảo. D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z một điểm. Câu 18: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = 1\) trên mặt phẳng phức. A. Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\) B. Hai điểm \(A(1;1)\) và \(B(-1;1)\) C. Đường tròn tâm \(I(0;1)\) bán kính \(R=1\) D. Đường tròn tâm \(I(0;-1)\) bán kính \(R=1\) Câu 19: Tìm tập hợp các điểm biểu biểu diễn số phức \(\omega = (1 - 2i)z + 3\) trên mặt phẳng phức biết \(\left| {\omega + 2} \right| = 5.\) A. Đường tròn\({(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) B. Đường tròn \({(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} = 125\) C. Đường tròn \({(x +1)^2} + {(y - 2)^2} = 125\) D. Đường thẳng x=2 Câu 20: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện \( \left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|,\) tìm số phức z có môdun nhỏ nhất. A. \(z = - 1 + i\) B. \(z = - 2 + 2i\) C. \(z = 2 + 2i\) D. \(z = 3 + 2i\) Gợi ý lời giải: Câu 1: Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5\) với \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\) Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( 3; + \infty )\) và \(( - \infty ;1).\) Câu 2: Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \frac{2}{5}\) Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{2}.\) Câu 3: Với \(m = 0 \Rightarrow y = 1 - {x^2} \Rightarrow\) hàm số có một điểm cực trị Với \(m\neq 0\) ta có \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1 \Rightarrow y' = - 4m{x^3} + 2({m^2} - 1)x;\forall x \in \mathbb{R}\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 1)x - 2m{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} = {m^2} - 1(*) \end{array} \right.\) Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều này xảy ra khi: \(\frac{{{m^2} - 1}}{m} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 0 \end{array} \right..\) Câu 4: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow\) đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \infty \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Câu 5: Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra được vị trị của các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành, ta suy ra được: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} < 0\\ \frac{a}{c} > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{b}{d} < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} cd > 0\\ ac > 0\\ ab > 0\\ bd < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a{b^2}d > 0\\ ab < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ad > 0\\ ab < 0 \end{array} \right.\) Câu 6: Ta có \({5^{3x - 2}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{ - {x^2}}} \Leftrightarrow {5^{3x - 2}} = {5^{{x^2}}} \Leftrightarrow 3x - 2 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right..\) Vậy tổng bình phương hai nghiệm S=5. Câu 7: Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi \(4x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}\) Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \left( {\frac{3}{4}; + \infty } \right)\). Câu 8: \({9^x} - {2.6^x} + {4^x} > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 2.{\left( {\frac{6}{4}} \right)^x} + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} - 2{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 1 > 0.\) Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} > 0.\) Khi đó \({t^2} - 2t + 1 > 0 \Leftrightarrow {(t - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow t \ne 1 \Rightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0.\) Câu 9: \({\log _3}135 = {\log _3}27 + {\log _3}5 = 3 + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 3 + \frac{a}{b}.\) Câu 10: Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2} > 0\\ x + m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\ m > 5 \end{array} \right.\) Khi đó: \(\begin{array}{l} {\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x + m - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{1 - {x^2}}}{{x + m - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {x^2} = x + m - 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + m - 5 = 0\left( * \right) \end{array}\) (*) có hai nghiệm phân biệt khi: \(\Delta > 0 \Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow m - 5 < \frac{1}{4} \Leftrightarrow m < \frac{{21}}{4} \Rightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}.\) Câu 11: Ta có \(F(x) = \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C}\) Mà: \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow C - \sqrt 3 = 0 \Rightarrow C = \sqrt 3 \Rightarrow f(x) = \sqrt 3 - \cot x.\) Câu 12: \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = - 1 - 1 = - 2.\) Câu 13: \(S = \pi \int\limits_0^1 {\left| {9{x^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_0^1 {8{x^2}dx = \pi \frac{{8{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{8\pi }}{3}} .\) Câu 14: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và trục hoành là: \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\) Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {{x^2}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}.\) Câu 15: Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) trên [0;2] Ta có: \(\begin{array}{l} y' = {x^2} + 2mx - 2\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - \sqrt {{m^2} + 2} \\ x = - m + \sqrt {{m^2} + 2} \end{array} \right. \end{array}\) Do \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) nên \(- m - \sqrt {{m^2} + 2} < 0,\,\,0 < - m + \sqrt {{m^2} + 2} < 2\) Mặt khác: \(y(0) = - 2m - \frac{1}{3} < 0;\,\,y(2) = 2m - \frac{5}{3} < 0\) Ta có bảng biến thiên trong [0;2] Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(y < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có: \(\begin{array}{l} S = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right|dx} = 4\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \frac{{4m + 10}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}. \end{array}\) Câu 16: Ta có \(z = (2 + i)( - 1 + i){(2i + 1)^2} = (i - 3)(4i - 3) = 5 - 15i \Rightarrow \overline z = 5 + 15i\) Câu 17: Đặt \(z = x + yi(x,y \in ),\) ta có \( {z - 1 = x + (y - 1)i} \) và \(z + i = x + (y + 1)i\) Chú ý \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{|{z_1}|}}{{|{z_2}|}}\) Suy ra \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + 1}}} \right| = 1 \Leftrightarrow |z - 1| = |z + 1| \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} = {x^2} + {(y + 1)^2} \Leftrightarrow y = 0.\)Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thằng y = 0 hay trục thực. Câu 18: Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), khi đó \(\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}\) \(= 1 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đừờng tròn tâm I(0;1) bán kính R=1. Câu 19: Gọi \(M(x;y),\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) thì M là điểm biểu diễn của số phức \(\omega = x + yi.\) \(\omega = (1 - 2i)z + 3 \Rightarrow z = \frac{{x - 3 + yi}}{{1 - 2i}} = \frac{{x - 2y - 3}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i.\) Theo giả thiết: \(\begin{array}{l} \left| {z + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{x - 2y + 7}}{5} + \frac{{2x + y - 6}}{5}i} \right| = 5\\ \Leftrightarrow {(x - 2y + 7)^2} + {(2x + y - 6)^2} = 325 \end{array}\) Suy ra: \(5{(x - 1)^2} + 5{(y - 4)^2} = 625 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 125.\) Câu 20: Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right),\) khi đó \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x - 2 + \left( {y - 4} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y - 2} \right)i} \right|\) \(\Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 20 = {x^2} + {y^2} - 4y + 4 \Leftrightarrow x + y = 4\) Mặt khác: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16}\) \(= \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} = 2\sqrt 2\) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i\).
