LTTK TEZ giới thiệu đến đọc giả bài viết xét tính đơn điệu của hàm số trên tập xác định thuộc chương trình Toán 12. 1. Phương pháp giải toán Bước 1: Tìm tập xác định $D.$ Bước 2: Tính đạo hàm $y’ = f'(x).$ Bước 3: Tìm nghiệm $f'(x) = 0$ hoặc những giá trị $x$ làm cho $f'(x)$ không xác định. Bước 4: Xác định dấu của $f'(x)$ tại các khoảng giá trị vừa tìm được. Bước 5: Kết luận. 2. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = – {x^3} + 6{x^2} – 9x + 4.$ Hàm số đã cho xác định trên $D = R.$ Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 12x – 9.$ Cho $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow – 3{x^2} + 12x – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = 3} \end{array}} \right. .$ Bảng xét dấu của $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số nghịch biến trên $( – \infty ;1)$ và $(3; + \infty )$, đồng biến trên $(1;3).$ Bài toán 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = – {x^4} + 4{x^2} – 3.$ Hàm số đã cho xác định trên $D = R.$ Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 8x.$ Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 8x = 0$ $ \Leftrightarrow 4x\left( { – {x^2} + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x = 0}\\ { – {x^2} + 2 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {{x^2} = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right. .$ Bảng xét dấu của $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đồng biến trên: $( – \infty ; – \sqrt 2 )$ và $(0;\sqrt 2 )$, hàm số nghịch biến trên: $( – \sqrt 2 ;0)$ và $(\sqrt 2 ; + \infty ).$ Bài toán 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = \frac{{3 – 2x}}{{x + 7}}.$ Ta có: $y = \frac{{3 – 2x}}{{x + 7}} = \frac{{ – 2x + 3}}{{x + 7}}.$ Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: $D = R\backslash \{ – 7\} .$ Ta có: $y’ = \frac{{( – 2).7 – 1.3}}{{{{(x + 7)}^2}}}$ $ = \frac{{ – 17}}{{{{(x + 7)}^2}}} < 0$, $\forall x \in D = R\backslash \{ – 7\} .$ Bảng xét dấu của $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số luôn nghịch biến trên $( – \infty ; – 7)$ và $( – 7; + \infty ).$ Bài toán 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = \frac{{ – {x^2} + 2x – 1}}{{x + 2}}.$ Hàm số đã cho xác định trên: $D = R\backslash \{ – 2\} .$ Ta có: $y’ = \frac{{ – {x^2} – 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}}$, $\forall x \in D.$ Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – {x^2} – 4x + 5}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow – {x^2} – 4x + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 5}\\ {x = 1} \end{array}} \right. .$ Bảng xét dấu $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên: $( – \infty ; – 5)$ và $(1; + \infty )$, hàm số đồng biến trên $( – 5; – 2)$ và $( – 2;1).$ Bài toán 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = (4 – 3x)\sqrt {6{x^2} + 1} .$ Hàm số đã cho xác định trên $D=R.$ Ta có: $y’ = – 3\sqrt {6{x^2} + 1} + \frac{{6x(4 – 3x)}}{{\sqrt {6{x^2} + 1} }}$ $ = \frac{{ – 36{x^2} + 24x – 3}}{{\sqrt {6{x^2} + 1} }}.$ Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – 36{x^2} + 24x – 3}}{{\sqrt {6{x^2} + 1} }} = 0$ $ \Leftrightarrow – 36{x^2} + 24x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{2}}\\ {x = \frac{1}{6}} \end{array}} \right. .$ Bảng xét dấu của $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên $\left( { – \infty ;\frac{1}{6}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$, hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right).$ Bài toán 6: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = \sqrt {{x^2} – 2x} .$ Hàm số đã cho xác định khi: ${x^2} – 2x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 0}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow $ Tập xác định: $D = ( – \infty ;0] \cup [2; + \infty ).$ Ta có: $y’ = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x} }}$, $\forall x \in ( – \infty ;0) \cup (2; + \infty ).$ Hàm số không có đạo hàm tại: $x = 0$, $x = 2.$ Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x} }} = 0$ $ \Leftrightarrow x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Bảng xét dấu $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên $( – \infty ;0)$ và đồng biến trên $(2; + \infty ).$ Bài toán 7: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: $y = x – \sin x$, $x \in [0;\pi ].$ Hàm số đã cho xác định trên đoạn $[0;\pi ].$ Ta có: $y’ = 1 – \cos x.$ Trên đoạn $[0;\pi ]$: $y’ = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \in [0;\pi ]}\\ {1 – \cos x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \in [0;\pi ]}\\ {\cos x = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \in [0;\pi ]}\\ {x = k2\pi ,(k \in Z)} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0.$ Bảng xét dấu $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên $[0;\pi ].$ Bài toán 8: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: $y = 2\sin x + \cos 2x$, $x \in [0;\pi ].$ Hàm số đã cho xác định trên đoạn $[0;\pi ].$ Ta có: $y’ = 2\cos x – 2\sin 2x$ $ = 2\cos x – 4\cos x.\sin x$ $ = 2\cos x(1 – 2\sin x)$, $x \in [0;\pi ].$ Trên đoạn $[0;\pi ]$: $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \in [0;\pi ]}\\ {\cos x = 0}\\ {\sin x = \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{\pi }{2}}\\ {x = \frac{\pi }{6}}\\ {x = \frac{{5\pi }}{6}} \end{array}} \right. .$ Bảng xét dấu của $y’:$ Kết luận: Dựa vào xét dấu trên, hàm số đồng biến trên $\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)$ và $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$, hàm số nghịch biến trên: $\left( {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right)$ và $\left( {\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right).$ Bài toán 9: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: $y = \left| {{x^2} – 2x – 3} \right|.$ Ta có: $y = \left| {{x^2} – 2x – 3} \right| $ $= \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} – 2x – 3}&{{\rm{khi\: }}x \in ( – \infty ; – 1] \cup [3; + \infty )}\\ { – {x^2} + 2x + 3}&{{\rm{khi\: }}x \in ( – 1;3)} \end{array}} \right. .$ TXĐ: $D = R.$ Tìm $y’ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x – 2}&{{\rm{khi\: }}x \in ( – \infty ; – 1) \cup (3; + \infty )}\\ { – 2x + 2}&{{\rm{khi\: }}x \in ( – 1;3)} \end{array}} \right. .$ Hàm số không có đạo hàm tại $x = -1$ và $x = 3.$ Ta lại có: Trên khoảng $( – 1;3)$: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Trên khoảng $( – \infty ; – 1)$: $y’ < 0.$ Trên khoảng $(3; + \infty )$: $y’ > 0.$ Bảng xét dấu $y’:$ Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trong các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(1;3)$, hàm số đồng biến trong các khoảng $( – 1;1)$ và $(3; + \infty ).$
