Hàm số hằng

Hàm số hằng (hay hàm không đổi), là hàm số nhận giá trị không đổi trên tập xác định của nó. Trong bài viết này ta xét một số bài toán chứng minh hàm không đổi. Hi vọng rằng qua các bài toán này bạn đọc sẽ nắm được những kĩ thuật quan trọng nhất trong việc chứng minh hàm không đổi.

 

Bài 1: Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(xy)=\dfrac{f(x)+f(y)}{x+y},\forall x,y \in \mathbb{R}$ mà $x+y \neq 0$.​

Chứng minh rằng $f$ là hàm hằng.

 

Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f \left( f(x)+y \right)=yf \left( x-f(y) \right)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.​

 

Bài 3: Cho hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

1. $ f(0) = \dfrac{1}{2}$;
2. Có số $a$ sao cho $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x), \forall x,y \in \mathbb{R}$.

Chứng minh rằng $f$ là hàm hằng.

 

Bài 4: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f \left( \dfrac{x+y}{3} \right) = \dfrac{f(x)+f(y)}{2}$​

với mọi $x,y \in \mathbb{Z}$ và $x+y$ chia hết cho 3.

 

Bài 5: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện

$3f(n)-2f \left( f(n) \right)=n,\forall n \in \mathbb{N}$.​

 

Bài 6: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện

$f(x+y)=f(x)e^{f(y)-1},\forall x,y \in \mathbb{R}$.​

 

Bài 7: Tìm hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn đẳng thức sau với mọi $x,y \in \mathbb{R}$:

$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy \left(x^2-y^2 \right)$.​

 

Bài 8: Cho $0<a \neq 1$. Giả sử $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ là hàm không giảm thỏa mãn

$f(ax)=f(x), \forall x>0$.​

Chứng minh rằng $f$ là hàm hằng.

 

Bài 9: Giả sử hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$\left| \sum\limits_{k = 1}^n {{3^k \left( f(x+ky)-f(x-ky) \right)}} \right| \leq 1$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ và $x,y \in \mathbb{R}$.​

Chứng minh rằng $f$ là hàm hằng.