Bài 22: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(\frac{1}{2-x})=2f(x)-3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $x\ne 2$...
Bài 21: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x^3-y)+2y(3f^2(x)+y^2)=f(y+f(x)).$ [SPOILER]
Bài 11: Cho đa thức với hệ số thực $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ và $Q(x)=x^2+x+2009$. Biết rằng đa thức $P(x)$ có $n$ nghiệm thực phân...
Bài 20: Với số nguyên dương $n>2$. Tìm số các hàm số $f:\left\{1,2,3,...,n\right\}\to \left\{1,2,3,4,5\right\}$ thỏa mãn tính chất:...
Bài 19: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1$. [SPOILER]
Bài 18: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N^*}\to \mathbb{N^*}$ thỏa mãn điều kiện: $f(f^2(m)+2f^2(n))=m^2+2n^2$ với mọi $m,n\in \mathbb{N^*}$....
Bài 6: Cho dãy $(x_n)(n=0,1,2,...)$ thỏa mãn $x_0=2$ và $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}$ với mọi $n=0,1,2,...$. Tính $[\sum\limits_{k=1}^{n}x_k]$...
Bài 61: Tìm số nguyên tố $p$ nhỏ nhất sao cho $[(3+\sqrt{p})^{2n}]+1$ chia hết cho $2^{n+1}$ với mỗi số tự nhiên $n$, trong đó kí hiệu $[x]$ là...
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x^2(y-z)+y^2(z-y)+z^2(1-z)$ trong đó $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $0\le x\le y\le z\le 1$....
Bài 17: Hãy tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$, lấy giá trị trong $\mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ thức:...
Bài 4: Cho dãy số $\left\{x_n\right\}$ thỏa mãn: $x_1=1$ và $(n+1)(x_{n+1}-x_{n})\ge 1+x_{n}\forall n\ge 1(n\in \mathbb{N})$. Chứng minh rằng: Dãy...
Cho hai số thực $x,y$ thuộc $(0;1)$ và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $x^{x}+y^{y}$. [SPOILER]
Bài 1: Chứng minh rằng: $2^{(3^{n})}$ không chia hết cho $17$ với mọi số nguyên $n>0$ [SPOILER] Bài 2: Tìm tất các cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao...
Bài 16: Tìm tất các hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn: $f(f(x)+y)=x+f(y)$ với mọi số $x,y$ thuộc tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$. [SPOILER]
Xét dãy số $(u_n)(n=1,2,...)$ được xác định bởi: $u_1=a>0,u_{n+1}=u_n+[\sqrt{u_n}]-[\frac{u_n}{3}]$ với mọi $n=1,2,3,...$. Chứng minh rằng: Dãy số...
Bài 57: Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2=z^2$ biết rằng $z$ là một số tự nhiên lẻ và $x,y$ là lũy thừa của một số nguyên...
Bài 11: Tìm số tự nhiên lẻ $n$ nhỏ nhất sao cho $n^2$ biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp. [SPOILER] Bài 12: Cho...
Bài 56: Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$. Chứng minh rằng: $a+b+c+d$ là hợp số. [SPOILER]
Bài 3: Cho dãy số Fibonacci: $u_0=u_1=1$ và $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\forall n\ge 2$. Chứng minh rằng: Trong $n^2-3n+4$ số đầu tiên của dãy luôn tồn...
Cho $a,x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $\frac{cos(x)+cos(y)+cos(z)}{cos(x+y+z)}=\frac{sin(x)+sin(y)+sin(z)}{sin(x+y+z)}=a$. Chứng minh rằng:...
