Bài 13. Tìm $f: (0;+\infty ) \rightarrow (0;+\infty )$ thỏa $f(\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x)).$ [SPOILER]
Bài 12. Tìm các hàm $f:\mathbb{Q}^2\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(0,x+y+z)$ với mọi $x;y;z\in \mathbb{Q}$ [SPOILER]
Bài 11: Tìm các hàm $f: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ nếu: $3f(\frac{x-1}{3x+2})-5f(\frac{1-x}{x-2})=\frac{8}{x-1}(x \neq 0,$$x \neq \frac{-2}{3},x...
Bài 10: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$$
Bài 9: $\left\{\begin{matrix} xf(x)+2f(x_{1})=1\\ x_{1}f(x_{1})+2f(x_{2})=1 \\x_{2}f(x_{2})+2f(x_{3})=1\\ x_{3}f(x_{3})+2f(x)=1...
Bài 8: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(2x+2y+f(x))=f(f(y))+8x,\forall x, y\in \mathbb{R}.$ [SPOILER]
Bài 7: Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện: \[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\] Chứng minh rằng $f$...
Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn: \[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) \ \ \text{và} \ \...
Bài 5: Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa...
Bài 4: Đặt $\mathbb{Q}^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa...
Bài 3: Cho $f$ là hàm số được xác định trên tập các số nguyên dương. Với bất kì $a,\ b >1$ và $d = \text{UCLN}\ (a,b)$ ta có:...
Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f(0;+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+y)=x^{12}.f(\frac{1}{x^{11}})+y^{12}.f(\frac{1}{y^{11}}).$
Bài 1: Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:...
Bài 3: Giải bất phương trình: $$C_{x}^{2}+C_{x}^{4}+...+C_{x}^{2n}\geq 2^{2013}-1, x\in N^{*}$$
Bài 2: Chứng minh rằng: $$C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{1}.C_{n}^{k+1}+C_{n}^{2}.C_{n}^{k+2}+...+C_{n}^{n-k}.C_{n}^{n}=\frac{(2n)!}{(n-k)!.(n+k)!))}$$
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$: $$\sum_{k=0}^{n}(\frac{k}{n}-x)^2.C_{n}^k.x^k.(1-x)^{n-k}=\frac{x(1-x)}{n}$$
Đề bài: Nghị luận xã hội về hiện tượng đi ẩu – văn lớp 12 Bài làm Hiện nay vấn đề an toàn giao thông đang diễn ra phức tạp và ngày càng gia tăng...
Đề bài: Giữa những bài thơ buồn của Xuân Diệu trước Cách mạng tháng Tám, hiện lên một “Thơ duyên” hồn nhiên, tươi mát, yêu đời. Vì sao Xuân Diệu...
Đề bài: Phân tích nhân vật Tràng trong truyện ngắn Vợ nhặt – Văn mẫu lớp 12 Bài làm Kim Lân là nhà văn lão làng trong nền văn học hiện thực...
Đề bài: Trong bài Đây mùa thu tới, Xuân Diệu dùng hình ảnh liễu để chỉ mùa thu có gì khác với thơ ca truyền thống? Sự sáng tạo đó đã đem lại hiệu...
