A. Tổng hợp kiến thức I. Tổng và tích của hai số phức liên hợp Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó. $z+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó. $z.\overline{z}=(a+bi).(a-bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}+b^{2}=\left | z \right |^{2}$ Nhận xét: Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực. II. Phép chia hai số phức $z=\frac{c+di}{a+bi}$ Để tính thương của z, ta nhân cả tử và mẫu của số phức đó với số phức liên hợp của a+bi. Ví dụ: Tính: $z=\frac{5+2i}{2+3i}$ Lời giải: $z=\frac{5+2i}{2+3i}=\frac{(5+2i)(2-3i)}{(2_3i)(2-3i)} = \frac{16-11i}{13}=\frac{16}{13}-\frac{11i}{13}$ Vậy $z=\frac{5+2i}{2+3i}=\frac{16}{13}-\frac{11i}{13}$ B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trang 138-sgk giải tích 12 Thực hiện các phép chia sau: a) $\frac{2+i}{3-2i}$ b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}$ c) $\frac{5i}{2-3i}$ d) $\frac{5-2i}{i}$ Hướng dẫn giải: a) $\frac{2+i}{3-2i} = \frac{(2+i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \frac{4+7i}{13} = \frac{4}{13}+\frac{7i}{13}$ b) $\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}} = \frac{(1+i\sqrt{2})(2-i\sqrt{3})}{(2+i\sqrt{3})(2-i\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}i}{7}$ c) $\frac{5i}{2-3i} = \frac{5i(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{15+10i}{13} = \frac{15}{13}+\frac{10i}{13}$ d) $\frac{5-2i}{i} = (5-2i)(-i) = -2-5i$ Câu 2: Trang 138-sgk giải tích 12 Tìm nghịch đảo của z là: a) $z=1+2i$ b) $z=\sqrt{2}-3i$ c) $z=i$ d) $z=5+i\sqrt{3}$ Hướng dẫn giải: Kiến thức cần nhớ: Cho số phức $z$ => Nghịch đảo của nó là: $\frac{1}{z}$ Ta có: a) $\frac{1}{z}=\frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1-2i}{1^{2}+2^{2}} = \frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$ b) $\frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i} = \frac{\sqrt{2}+3i}{(\sqrt{2}-3i)(\sqrt{2}+3i)} = \frac{\sqrt{2}+3i}{2+9} = \frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i$ c) $\frac{1}{z}=\frac{1}{i} = \frac{-i}{1}=-i$ d) $\frac{1}{z}=\frac{1}{5+i\sqrt{3}} = \frac{5-i\sqrt{3}}{(5+i\sqrt{3})(5-i\sqrt{3})} = \frac{5-i\sqrt{3}}{28} = \frac{5}{28}-\frac{\sqrt{3}}{28}i$ Câu 3: Trang 138-sgk giải tích 12 Thực hiện các phép tính sau: a) $2i(3+i)(2+4i)$ b) $\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}$ c) $3+2i+(6+i)(5+i)$ d) $4-3i+\frac{5+4i}{3+6i}$ Hướng dẫn giải: Ta có: a) $2i(3 + i)(2 + 4i) = 2i(2 + 14i) = -28 + 4i$ b) $\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i} = \frac{2i.(-8i)}{-2+i} = \frac{16(-2-i)}{5} = -\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i$ c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i$ d) $4-3i+\frac{5+4i}{3+6i} = 4-3i+\frac{(5+4i)(3-6i)}{(3+6i)(3-6i)} = 4-3i+(\frac{(39}{45}-\frac{18}{45}i) = \frac{73}{15}-\frac{51}{15}i$ Câu 4: Trang 138-sgk giải tích 12 Giải các phương trình sau: a) $(3-2i)x+(4+5i)=7+3i$ b) $(1+3i)x-(2+5i)=(2+i)x$ c) $\frac{x}{4-3i}+(2-3i)=5-2i$ Hướng dẫn giải: a) $(3 - 2i)x + (4 + 5i) = 7 + 3i$ $ \Leftrightarrow (3 - 2i)x = 7 + 3i - 4 - 5i$ $ \Leftrightarrow (3 - 2i)x= 3 - 2i$ $ \Leftrightarrow x=\frac{3-2i}{3-2i}=1$ Vậy $x=1$ b) $(1 + 3i)x - (2 + 5i) = (2 + i)x$ $ \Leftrightarrow (1 + 3i)x -(2 + i)x = (2 + 5i)$ $ \Leftrightarrow (1 + 3i - 2 - i)x = 2 + 5i$ $ \Leftrightarrow (-1 + 2i)x = 2 + 5i$ $ \Leftrightarrow x = \frac{2+5i}{-1+2i}$ $ \Leftrightarrow x=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$ Vậy $x=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i$ c) $\frac{x}{4-3i}+(2-3i)=5-2i$ $ \Leftrightarrow \frac{x}{4-3i}=5-2i-(2-3i)$ $ \Leftrightarrow \frac{x}{4-3i}=3+i$ $ \Leftrightarrow x = (3 + i)(4 - 3i)$ $ \Leftrightarrow x = 12 + 3 + (-9 + 4)i$ $ \Leftrightarrow x = 15 -5i$ Vậy $x = 15 -5i.$ Theo LTTK Education tổng hợp
