Tác giả: ĐOÀN VĂN TRÚC --------- --------- Bài 66: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 5cm. Trên các cạnh BC và CD lấy các điểm E và F sao cho EF = 4cm và $\widehat{EAF}={{45}^{0}}$. Tính diện tích tam giác CEF. Giải: Trên tia đối của tia DC lấy điểm G sao cho DG = BE. Do đó $\Delta AFG=\Delta AFE$ (c-g-c) $\Rightarrow \widehat{AFG}=\widehat{AFE}$. Kẻ AH $\bot $ EF $\Rightarrow $ AH = AD = 5cm $\Rightarrow {{S}_{AEF}}=\frac{EF.AH}{2}=\frac{4.5}{2}=10\left( c{{m}^{2}} \right)$. Dễ thấy $\Delta AFD=\Delta AFH$ (ch-gn) và $\Delta AEB=\Delta AEH$ (ch-cgv). Từ đó suy ra diện tích đa giác ABEFD = 2SAEF = 2.10 = 20 (cm2). Mà SABCD = 52 = 25 (cm2) nên SCEF = 25 – 20 = 5 (cm2). Bài 67: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}={{20}^{0}}$. Đường phân giác góc ABC cắt AC tại E. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho $\widehat{ACD}={{30}^{0}}$. Tính số đo góc CDE. Cách 1: Tam giác ADC vuông tại A có $\widehat{ACD}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{BDC}={{60}^{0}}$ Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho BP = BC. $\Rightarrow \Delta BCP$ cân tại B có $\widehat{CBP}={{20}^{0}}$$\Rightarrow \widehat{BCP}=\widehat{BPC}={{80}^{0}}$ Vẽ DF là phân giác của góc BDC (F thuộc BC) cắt BE tại Q. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Khi đó $\widehat{BDF}=\widehat{FDC}=\widehat{CDA}={{60}^{0}}$ Trong tam giác BDC có BK và DF là hai phân giác cắt nhau tại Q $\Rightarrow $ CQ là phân giác góc BCD $\Rightarrow \widehat{DCQ}=\widehat{BCQ}={{20}^{0}}$$\Rightarrow \widehat{QCP}={{60}^{0}}$ Dễ thấy BE là trung trực của CP nên $\Delta QCP$ đều $\Rightarrow $ CQ = CP = PQ. Ta có $\widehat{CFD}=\widehat{FDB}+\widehat{FBD}={{60}^{0}}+{{20}^{0}}={{80}^{0}}$ nên $\Delta CFQ$ cân tại C $\Rightarrow $ CF = CQ $\Rightarrow $ CF = CP $\Rightarrow \Delta CFP$ cân tại C $\Rightarrow \widehat{CFP}=\widehat{FPC}={{50}^{0}}$. Dễ thấy $\widehat{CFQ}=\widehat{AEQ}\,\,\,\,\,\left( ={{80}^{0}} \right)$ nên tứ giác QECF nội tiếp $\Rightarrow \widehat{QFE}=\widehat{QCE}={{50}^{0}}$. Xét $\Delta BDF$ có BE là phân giác góc DBF và DC là phân giác góc ADF nên FK là phân giác góc DFC $\Rightarrow \frac{KD}{KC}=\frac{FD}{FC}=\frac{BD}{BC}$. Mặt khác $\Delta BCD$ ഗ$\Delta FPE$ (vì $\widehat{CBD}=\widehat{PFE}={{20}^{0}}$ và $\widehat{BCD}=\widehat{FPE}={{40}^{0}}$) $\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{FE}{FP}$, do đó $\frac{FD}{FC}=\frac{FE}{FP}$. Mà $\widehat{DFE}=\widehat{PFC}={{50}^{0}}$ nên $\Delta DFE$ ഗ$\Delta CFP$ (c-g-c) Ta lại có $\Delta CFP$ cân tại C nên $\Delta DFE$ cân tại D $\Rightarrow \widehat{FDE}={{80}^{0}}$, mà $\widehat{FDC}={{60}^{0}}$ nên $\widehat{CDE}={{20}^{0}}$. Cách 2: Vẽ đường trung trực của BC cắt BC tại M, cắt AB tại N. $\Rightarrow MN\bot BC$ ; MB = MC ; NB = NC. $\Rightarrow \Delta BNC$ cân tại N $\Rightarrow \widehat{NBC}=\widehat{NCB}={{20}^{0}}$. Ta lại có $\widehat{ACB}={{70}^{0}}\,\,;\,\,\widehat{ACD}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{NCD}={{20}^{0}}$. Do đó CN là phân giác của góc BCD $\Rightarrow \frac{DC}{DN}=\frac{BC}{BN}$. Ta có tam giác ACD vuông tại A có $\widehat{ACD}={{30}^{0}}$$\Rightarrow CD=2AD$. Từ đó $\Rightarrow \frac{2AD}{DN}=\frac{2BM}{BN}\Rightarrow \frac{AD}{DN}=\frac{BM}{BN}$ (1) Dễ thấy $\Delta BMN$ ഗ$\Delta BAC$ (g-g) $\Rightarrow \frac{BM}{BN}=\frac{BA}{BC}$ (2) Vì BE là phân giác của góc ABC nên $\frac{BA}{BC}=\frac{AE}{EC}$ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{EC}$ Theo Ta-lét đảo $\Rightarrow $ DE // NC $\Rightarrow \widehat{CDE}=\widehat{DCN}={{20}^{0}}$. Cách 3: Vẽ tia phân giác $CK$ của góc $BCK$ . Gọi $T$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Ta tính được $\angle KCD=\angle KCB={{20}^{0}}=\angle ABC=\angle BTC$, $BT = 2AB$ $\Rightarrow \Delta BKC\sim \Delta BCT$ (g – g) $\Rightarrow \frac{BC}{BK}=\frac{BT}{BC}\Rightarrow \frac{BC}{BK}=\frac{2BA}{BC}$ (1) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$ (2) và $\frac{DC}{DK}=\frac{BC}{BK}$ Tam giác ADC là nửa tam giác đều nên DC = 2AD, Do đó: $\frac{2AD}{DK}=\frac{BC}{BK}$ (3) Từ (1), (3) và (2) $\Rightarrow $ $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{KD}$ $\Rightarrow $ $DE // KC$ ( định lí Ta let đảo) $\Rightarrow $ $\angle CDE=\angle KCD={{20}^{0}}$ Bài 68: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD và CE. Điểm F thuộc đoạn DE. Gọi H, I, K thứ tự là hình chiếu của F lên BC, CA, AB. Chứng minh FH = FI + FK. Giải: Đặt độ dài các cạnh BC, CA, AB là a, b, c. Đặt khoảng cách từ E đến BC và AC là x ; khoảng cách từ D đến BC và AB là y. Ta có $\frac{1}{2}x\left( a+b \right)=\frac{1}{2}y\left( a+c \right)={{S}_{ABC}}$. Do đó $\frac{1}{2}x\left( a+b \right).\frac{DF}{DE}+\frac{1}{2}y\left( a+c \right).\frac{EF}{DE}={{S}_{ABC}}\left( \frac{DF}{DE}+\frac{EF}{DE} \right)={{S}_{ABC}}$. Theo Ta –lét thì ta có $x.\frac{DF}{DE}=FI$ và $y.\frac{EF}{DE}=FK$. Suy ra $\frac{1}{2}\left( a+b \right).FI+\frac{1}{2}\left( a+c \right).FK={{S}_{ABC}}\Rightarrow \frac{1}{2}\left[ a\left( FI+FK \right)+b.FI+c.FK \right]={{S}_{ABC}}$. Ta lại có $\frac{1}{2}\left[ a.FH+b.FI+c.FK \right]={{S}_{ABC}}$ nên suy ra FH = FI + FK. Bài 69: Cho tam giác ABC có $\widehat{ABC}={{30}^{0}}$, $\widehat{ACB}={{50}^{0}}$. Điểm D nằm trong tam giác sao cho $\widehat{DBC}={{10}^{0}}$, $\widehat{DCB}={{30}^{0}}$. Tính $\widehat{ADC}$. Giải: Kéo dài CD cắt AB tại E $\Rightarrow \Delta BEC$ cân tại E (vì $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}={{30}^{0}}$) $\Rightarrow $ BE = CE. Vẽ phân giác của góc BEC cắt BD tại F $\Rightarrow \widehat{\text{BEF}}=\widehat{\text{FEC}}=\widehat{CEA}={{60}^{0}}$. Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CEF$ (c-g-c) và $\Delta BEF=\Delta CEA$ (g-c-g) $\Rightarrow \Delta CEF=\Delta CEA$. Từ đó suy ra $\Delta CDF=\Delta CDA$ (c-g-c) $\Rightarrow \widehat{\text{CFD}}=\widehat{CAD}$. Mà $\Delta BFC$ cân tại F có $\widehat{FBC}={{10}^{0}}$ nên $\widehat{CFD}={{20}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{CAD}={{20}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{ADC}={{140}^{0}}$. Bài 70: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2, $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$, đường cao AH. Điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho BD = 1. Tính tỉ số của DH và DC. Giải: Gọi F, G lần lượt là trung điểm của BC, BD. $\Rightarrow BF=FC=\frac{1}{2}BC=1$ $\Rightarrow $ BD = BF = 1 $\Rightarrow \Delta BDF$ cân tại B. $\Delta ABC$ vuông tại A có AF là đường trung tuyến nên FA = FB = FC. $\Delta ABF$ có FA = FB và $\widehat{ABC}={{60}^{0}}$nên là tam giác đều. Ta lại có AH là đường cao của tam giác đều ABF nên HB = HF. Do đó DH và FG là hai đường trung tuyến ứng với cạnh bên của tam giác BDF cân tại B nên DH = FG. Dễ thấy FG là đường trung bình của tam giác BDC nên $\frac{FG}{DC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{DH}{DC}=\frac{1}{2}$.
