Bài toán liên quan đến tính giá trị của hàm số

Đây là dạng toán liên quan đến việc xác định giá trị của hàm số tại một điểm cụ thể. Để làm được điều này đòi hỏi phải nắm vững khái niệm và các tính chất của hàm số. Trong nhiều trường hợp cần phải có những kĩ năng nhất định trong việc so sánh, tính toán, đánh giá.

 

Bài 1: Cho hàm số f, xác định trên tập hợp các số nguyên và nhận giá trị cũng trong tập đó, thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 0$ và $f(m + n) = f(m) + f(n) + 3(4mn - 1)$ với mọi m,n nguyên. Xác định $f(19)$.

Spoiler: Xem đáp án

Thay $m=n=1$, ta có $f(2)=2f(1)+9=9$;
Thay $m=n=2$, ta có $f(4)=2f(2)+45=63$;
Thay $m=n=4$, ta có $f(8)=2f(4)+189=315$;
Thay $m=n=8$, ta có $f(16)=2f(8)+765=1395$;
Thay $m=2,n=1$, ta có $f(3)=f(2)+f(1)+21=30$;
Thay $m=16, n=3$ ta có kết quả là

$f(19)=f(16+3)=f(16)+f(3)+573=1998$.​

 

Bài 2: Hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,\forall x,y \in \mathbb{R}$​

Nếu $f(1)=1$ hãy tìm các số nguyên n sao cho $f(n)=n$.

Spoiler: Xem đáp án

Cho $y=1$ ta được

$f(x)+f(1)=f(x+1)-x-1 \Rightarrow f(x+1)=f(x)+x+2$.​

Như thế với mọi $n \in \mathbb{Z}$ ta có $f(n)=f(n-1)+n+1$.
Ta có: $f(n)=f(n-1)+n+1=f(n-2)+n+n+1$
$=f(n-3)+(n-1)+n+(n+1)$
$=...$
$=f(1)+3+4+...+(n-1)+n+(n+1)$
$=1+2+3+...+n+(n+1)-2$
$=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}-2$.
Vậy $f(n)=n \Leftrightarrow \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}-2=n$
$\Leftrightarrow (n+1)(n+2)=2n+4 \Leftrightarrow n^2+n-2=0 \Leftrightarrow n=1,n=-2$.
Đó là các giá trị $n$ cần tìm.

 

Bài 3: Cho f là hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên và thỏa mãn các điều kiện sau:

1. $f(0) \neq 0$.
2. $f(1)=3$.
3. $f(x).f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ với mọi $ x,y \in \mathbb{Z}$

Tính $f(7)$.

Spoiler: Xem đáp án

Thay $y=1,x=n-1$ ta được:
$f(n-1)f(1)=3f(n-1)=f(n-1+1)+f(n-1-1)$
$\Rightarrow 3f(n-1)=f(n)+f(n-2) \Rightarrow f(n) =3f(n-1)-f(n-2)$
Từ đó ta tìm được công thức tổng quát:

$f(n)= \left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n}+ \left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n}$, $n=0,1,2,...$​

Khi đó: $f(7)=843$.

 

Bài 4: Cho hàm số $f: \mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}$ thỏa các điều kiện:

$f(1)=5;f \left( f(n) \right)=4n+9$ và $f \left( 2^n \right)=2^{n+1}+3, \forall n \in \mathbb{N^*}$.​

Tính $ f(1789)$.

Spoiler: Xem đáp án

Ta có:
$1789=4.445+9;445=4.109+9;109=4.25+9;25=4.4+9$;
Lần lượt áp dụng các giả thiết ta được:
$f(4)=8+3=11$;
$f(11)=f \left( f(4) \right)=4.4+9=25$;
$f(25)=f \left( f(11) \right)=4.11+9=53$;
$f(53)=f \left( f(25) \right)=4.25+9=109$;
$f(109)=f \left( f(53) \right)=4.53+9=221$;
$f(221)=f \left( f(109) \right)=4.109+9=445$;
$f(445)=f \left( f(221) \right)=4.221+9=893$;
$f(893)=f \left( f(445) \right)=4.445+9=1789$;
$f(1789)=f \left( f(893) \right)=4.893+9=3581$;

 

Bài 5: Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$\dfrac{f(x)f(y)-f(xy)}{3}=x+y+2, \forall x,y \in \mathbb{R}$.​

Xác định giá trị có thể có của $f(36)$.

Spoiler: xem đáp án

Cho $x=y=0$, thay vào ta được:

$\dfrac{\left( f(0) \right)^2-f(0)}{3}=2 \Rightarrow \left( f(0) \right)^2-f(0)-6=0$.​

Từ đó ta được $f(0)=-2$ hoặc $f(0)=3$.

• Xét $f(0)=-2$, khi đó:

$\dfrac{f(x)f(0)-f(0)}{3}=x+2 \Rightarrow f(x)=-\dfrac{3}{2}x-2$.​

Thay biểu thức của $f(x)$ vào biểu thức ban đầu, ta thấy không thỏa mãn.

• Xét $f(0)=3$, khi đó $f(x)=x+3$.

Dễ thấy, với $f(x)=x+3$ thỏa mãn biểu thức ban đầu.
Vậy $f(36)=36+3=39$.

 

Bài 6: Xét hàm số $f: \mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. $f$ tăng thực sự.
2. $f(mn)=f(m).f(n), \forall m,n \in \mathbb{N^*}$.
3. Nếu với $m \neq n$ mà $m^n=n^m$ thì $f(m)=n$ hoặc $f(n)=m$.

Xác định $f(30)$.

Spoiler: Xem đáp án

Từ $m^n=n^m \Rightarrow m=2,n=4$ hoặc $m=4,n=2$. (bạn đọc tự chứng minh).
Do $f$ tăng thực sự nên chỉ có thể $f(2)=4$

$30=2.3.5 \Rightarrow f(30)=f(2)f(3)f(5)$.​

• Tính $f(3)$:

Ta có $4=f(2)<f(3)<f(4)=f \left( 2^2 \right)=\left( f(2) \right)^2=16$.
Đặt $f(3)=k$.
Xét $5 \leq k \leq 8$. Khi đó $f(9)= \left( f(3) \right)^2=k^2 \leq 64$.
Nhưng $f(8)=f \left(2^3 \right)= \left( f(2) \right)^3=64$ nên điều này không xảy ra vì $f(8)<f(9)$.
Xét $11 \leq k \leq 15$. Khi đó $f(27)=f \left(3^3 \right) =\left( f(3) \right)^3=k^3 \geq 1331$.
Nhưng $f(32)=f \left( 2^5 \right)=\left( f(2) \right)^5=4^5=1024$ nên khả năng này cũng không xảy ra.
Xét $f(3) =10$. Ta có $f\left(3^5 \right)=f(243)=100000$.
Mà $f\left( 2^8 \right)=f(256)=4^8=65536$ vô lí.
Vậy $f(3)=9$.

• Tính $f(5)$:

Ta có $16=f(4)<f(5)<f(6)=f(2)f(3)=36$.
Nếu $17 \leq f(5) \leq 24$ thì $289 \leq f(25) \leq 576$.
Mà $f(24)=f(3)f(8)=576$ vô lí.
Nếu $27 \leq f(5) \leq 35$ thì $ 729 \leq f(25) \leq 1225$. Nhưng $f(27) =729$ nên cũng vô lí.
Xét $f(5)=26$. Khi đó $f(125)=f \left(5^3 \right)=26^3=17576$.
Mà $f(128)=f \left( 2^7 \right)=4^7=16384$, vô lí.
Vậy $f(5)=25$.
Cuối cùng $f(30)=f(2)f(3)f(5)=4.9.25=900$.

 

Bài 7: Đặt $f_1(x)=-\dfrac{2x+7}{x+3},f_{n+1}(x)=f_1 \left(f_n(x) \right),n \geq 1$.
Tính $f_{2001}(2002)$.

Spoiler: Xem đáp án

Viết lại $f_1(x)=-2-\dfrac{1}{x+3}$.
Khi đó: $f_2(x)=f_1\left( f_1(x) \right)=-2-\dfrac{1}{f_1(x)+3}=-2-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{x+3}}=-2-\dfrac{x+3}{x+2}=-3-\dfrac{1}{x+2}$
và $f_3(x)=f_1 \left( f_2(x) \right)=-2-\dfrac{1}{f_2(x)+3}=-2-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{x+2}}=-2+x+2=x$.
Sử dụng quy nạp ta chứng minh được:

$f_{3n}(x)=x$ với mọi $n \in \mathbb{N}$ và $x \notin \{-2,-3\}$.​

Do đó $f_{2001}(2002)=2002$.

 

Bài 8: Cho hàm số f xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$, thỏa mãn:

$f(xy) =xf(y)+yf(x)$ và $ f(x+y)=f \left(x^{1993} \right) +f \left(y^{1993} \right), \forall x,y \in \mathbb{R}$.​

Tính $f \left( \sqrt{5753} \right)$.

Spoiler: Xem đáp án

Từ $f(xy)=xf(y)+yf(x)$, thay$ x=y=0$ ta được $f(0)=0$.
Thay $x=y=1$ ta được $f(1)=2f(1) \Rightarrow f(1)=0$.
Từ $f(x+y)=f \left( x^{1993} \right)+f \left( y^{1993} \right)$, cho $y=0$
Ta có $f(x)=f \left( x^{1993} \right), \forall x \in \mathbb{R}$.
Vì vậy hệ thức trên có thể viết thành:

$f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$. $(8a)$​

Như vậy $f$ là hàm cộng tính trên $\mathbb{R}$.
Thay $y=1$ vào $(8a): f(x+1)=f(x),\forall x \in \mathbb{R}$
Trong hệ thức $f(xy)=xf(y)+yf(x)$ ta thay $y=x$:

$f\left( x^2 \right)=2xf(x), \forall x \in \mathbb{R}$. $(8b)$​

Xét $x \neq 0$, bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh với $n \in \mathbb{N}$ thì

$f\left( x^n \right)=nx^{n-1}f(x). $(8c)$​

Từ $(8c)$:

$f \left( x^{1993} \right)=1993x^{1992}f(x)​

Suy ra $f(x)=1993x^{1992}f(x)$.
Nếu $f(x) \neq 0$ thì $1993.x^{1992}=1$ với mọi $x \neq 0$. Điều này không thể xảy ra.
Do đó $f(x)=0$ với mọi $x$.
Như vậy $f \left( \sqrt{5753} \right)=0$.

 

Bài 9: Cho hàm $f: [0;1] \to [0;1]$ thỏa mãn:

1. Tồn tại $a, b \in [0;1]$ sao cho $f(a)=0,f(b)=1$.
2. Với mọi $x,y \in [0;1]$ ta có $\left| f(x)-f(y) \right| \leq \dfrac{\left|x-f(x) \right|+\left|y-f(y) \right|}{2}$.

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất $x_0 \in [0;1]$ sao cho $f \left(x_0 \right)=x_0$.