Bài 10: Giả sử $K=(2;4)$ và $f: K \to K$; $g:K \to K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: $f\left( g(x) \right)=g \left( f(x) \right)=x,\forall x \in K$. $f(x)g(x)=x^2,\forall x \in K$. Chứng minh rằng $f(3)=g(3)$.
Bài 11: Cho $f$ là hàm số không giảm trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $f(0)=0$. $f(1-x)=1-f(x)$. $f\left( \dfrac{x}{3} \right)=\dfrac{f(x)}{2},\forall x \in [0;1]$. Tính $f\left( \dfrac{18}{1991} \right)$.
Bài 12: Cho hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số tự nhiên và lấy giá trị nguyên không âm. Biết $f(n)$ thỏa mãn các điều kiện: Với mọi $m,n$ thì $f(m+n)-f(m)-f(n)$ lấy giá trị $0$ hoặc $1$. $f(2)=0,f(3)>0$ và $f(9999)=3333$. Tính $f(1982)$.
Bài 13: Cho $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện: $f \left( f(x) \right)f(x)=1,\forall x$. $f(1000)=999$. Tính $f(500)$.
Bài 14: Cho hàm $f$ xác định trên $[0;1]$ thỏa mãn: $f(0)=f(1)=0$ và $f \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \leq f(x)+f(y), \forall x,y \in [0;1]$. Chứng minh rằng phương trình $f(0)=0$ có vô số nghiệm trên đoạn $[0;1]$. Tồn tại hay không hàm số xác định trên $[0;1]$ thỏa mãn các điều kiện trên và không đồng nhất bằng $0$?
Bài 15: Xét các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(x)=f(4-x)=f(14-x), \forall x \in \mathbb{R}$.Hãy tìm số các nghiệm của phương trình $f(0)=0$ trên đoạn $[-1000;1000]$.
Bài 16: Cho $K=[0;1]$, $f$ là hàm số xác định trên $K$ thỏa mãn các điều kiện: $f(1)=1$. $f(x) \geq 0,\forall x \in K$. Nếu $x,y,x+y$ đều thuộc $K$ thì $f(x+y) \geq f(x)+f(y)$. Chứng minh rằng $f(x) \leq 2x,\forall x \in K$.
Bài 17: Cho hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left( x^3+y^3 \right)=(x+y)\left[ \left( f(x) \right)^2-f(x)f(y)+\left( f(y) \right)^2 \right],\forall x,y \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $f(1996x)=1996f(x)$.
