Bài 21: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(x^3-y)+2y(3f^2(x)+y^2)=f(y+f(x)).$ Spoiler: Lời giải Giả sử $f(x)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán. Với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý, lấy $y=x^3$ ta có: $f(0)+2x^3(3f^2(x)+x^6)=f(x^3+f(x))(1)$. Lấy $y=-f(x)$ ta có: $f(x^3+f(x))-2f(x)(3f^2(x)+f^2(x))=f(0)(2)$. Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $2x^3(3f^2(x)+x^6)=8f^3(x)$. Do đó: $0=4f^3(x)-x^3(3f^2(x)+x^6)$. $=(4f^3(x)-4f^2(x).x^3)+(f^2(x).x^3-x^9)$. $=(f(x)-x^3)(4f^2(x)+x^3(f(x)+x^3))$. $=(f(x)-x^3)((2f(x)+\frac{x^3}{4})^2+\frac{15}{16}x^6)$. Chú ý rằng $(2f(x)+\frac{x^3}{4})^2+\frac{15}{16}x^6=0$ thì $x=0,f(0)=0$. Bởi vậy trong mọi trường hợp ta có $f(x)=x^3$. Thử lại $(x^3-y)^3+2y(3x^6+y^2)=x^9+3x^6y+3x^3y^2+y^3=(y+x^3)^3$. Vậy $f(x)=x^3$( với mọi $x\in \mathbb{R}$) là hàm số duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 22: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(\frac{1}{2-x})=2f(x)-3$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $x\ne 2$ Spoiler: Lời giải Giả sử $f(x)$ là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Thay $x=1$ vào biểu thức ban đầu ta được: $f(1)=3$. Xét $x\ne 1$. Đặt $\frac{1}{x-1}=t$ thì $t\ne 0,t\ne 1,x=1+\frac{1}{t},\frac{1}{2-x}=1+\frac{1}{t-1}$. Khi đó phương trình đã cho có dạng: $f(1+\frac{1}{t-1})=2f(1+\frac{1}{t})-3\forall t\in \mathbb{R}; t\notin \left\{0;1\right\}.(1)$ Kí hiệu: $g(t)=f(1+\frac{1}{t})-3\forall t\in \mathbb{R}; t\notin \left\{0;1\right\}$ Phương trình $(1)$ tương đương với phương trình: $g(t-1)=2g(t)\forall t\in \mathbb{R}; t\notin \left\{0;1\right\}$. Tương đương: $h(t-1)=h(t)\forall t\in \mathbb{R}; t\notin \left\{0;1\right\}(2)$. Trong đó: $h(t)=2^tg(t)$. Như vậy ta có: $f(x)=\left\{\begin{array}{I} 3\text{ khi } x=1 \\ g(\frac{1}{x-1})+3\text{ khi }x\ne 1 \end{array}\right.(3)$ với $h(t)$ là hàm số tùy ý xác định với $t\in \mathbb{R}; t\notin \left\{0;1\right\}$ thỏa mãn $(2)$ và $g(t)=2^{-t}.h(t)$.
Bài 23: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x.f(y))=yf(x)$ với mọi số thực $x,y$. Spoiler: Lời giải $f(xf(y))=yf(x)(1)$. Giả sử $f(x)$ là hàm số thỏa mãn bài toán. Với $x=y=0$ ta có: $f(0)=0$. Mặt khác với mọi $x,y$, ta có: $f(y,f(x))=f(1,f(x,f(y)))=xf(y).f(1)$ và $f(yf(x))=xf(y)$. Do đó $xf(y)(f(1)-1)=0(2)$ Chú ý $f(x)\equiv 0$ là một hàm số thỏa mãn bài toán. Ta xét trường hợp $f(x)\not \equiv 0$, từ $(2)$ ta suy ra $f(1)=1$. Bậy giờ ta xét số thực $t$ mà $f(t)\ne 0$. Giả sử: $f(y_1)=f(y_2)$. Ta có: $y_1f(t)=f(tf(y_1))=f(t,f(y_2))=y_2f(t)$. Suy ra $y_1=y_2$. Tức là $f(x)$ là hàm số đơn ánh. Kết hợp với giả thiết $f(x)$ là hàm số liên tục, suy ra $f(x)$ là hàm số đơm điệu. Nhưng do $f(0)=0<f(1)=1$ thì $f(x)$ phải là hàm số tăng. Trong $(1)$ cho $x=1$ suy ra $f(f(y))=y\forall y\in \mathbb{R}$. Nếu $y<f(y)$ thì $y<f(y)<f(f(y))$ mâu thuẩn. Nêys $y>f(y)$ thì $y>f(y)>f(f(y))$ mâu thuẩn. Vậy phải có: $f(y)=y\forall y\in \mathbb{R}$. Thử lại ta thấy có hai hàm số thỏa mãn là $f(x)\equiv 0$ và $f(x)\equiv x$.
