Bài 1: Hàm $f$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+4)+f(x-4) =f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn.
Bài 2: Hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn (i) $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$; (ii) Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)=-1$.Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn.
Bài 3: Cho hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện: 1) $f(x+3) \leq f(x) +3$; 2) $f(x+2) \geq f(x)+2$.Với mọi $x \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng hàm số $g(x) =f(x)-x$ là hàm tuần hoàn.
Bài 4: Cho hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+1)+f(x-1)= \sqrt{2} f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.Chứng minh rằng $f$ là hàm số tuần hoàn.
Bài 5: Cho hàm $f$ xác định trên rập hợp các số nguyên dương và có số $a \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn: $f(a)=f(1995);f(a+1)=f(1996);f(a+2)=f(1997);f(n+a)=\dfrac{f(n)-1}{f(n)+1},\forall n \in \mathbb{N^*}$1) Chứng minh rằng $f(n+4a)=f(n), \forall n \in \mathbb{N^*}$. 2) Xác định giá trị nhỏ nhất có thể có của $a$ thỏa mãn 1).
Bài 6: Cho $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là hàm tuần hoàn sao cho tập hợp $\left\{ f(n)|n \in \mathbb{N} \right\}$ chứa vô số phần tử. Chứng minh rằng chu kì của $f$ là một số vô tỉ.
Bài 7: Cho hai hàm số $f(x), g(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại số $a>0$ sao cho 1) $f(x+a)=f(x)+g(x)$; 2) $ g(x+na)= \left\{ \begin{array}{l} g(x) , n \vdots 2\\ -g(x), n \not \vdots 2 \end{array} \right.$ 3) $f(x)=1$ nếu $ 0\leq x \leq a$.Chứng minh rằng nếu $|g(x)| \leq 1$ thì $0 \leq f(x) \leq 2$.
Bài 8: Hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x) =f(x-3)f(x+3), \forall x \in \mathbb{R}$. Chứng minh $f$ là hàm tuần hoàn.
Bài 9: Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $|f(x)| \leq 1$ và $f \left( x+ \dfrac{13}{42} \right) +f(x) =f\left( x+ \dfrac{1}{6} \right)+f\left( x+ \dfrac{1}{7} \right)$. Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn.
