Gọi $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$. $R, r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$ và $p$ là nửa chi vi tam giác. Khi đó ta có các định lý thường dùng sau: 1. $a,b,c$ là nghiệm của: $t^3-2pt+(p^2+r^2+4Rr)t-4pRr=0$ 2. $\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p^2+4Rr+r^2}{4pRr}.t^2+\dfrac{1}{2Rr}.t-\dfrac{1}{4pRr}=0$ 3. $x=p-a,y=p-b,z=p-c$ là nghiệm của: $t^3-pt^2+r(4R+r)t-pr^2=0$ 4. $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{4R+r}{pr}.t^2+\dfrac{1}{r^2}.t-\dfrac{1}{pr^2}=0$ 5. $h_a,h_b,h_c$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{2R}.t^2+\dfrac{2p^2r}{R}.t-\dfrac{2p^2r^2}{R}=0$ $t^3-\dfrac{1}{r}.t^2+\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{4p^2r^2}.t-\dfrac{2R}{4p^2r^2}=0$ $t^3-(4R+r)t^2+p^2t-p^2r=0$ 6. $\dfrac{1}{r_a},\dfrac{1}{r_b},\dfrac{1}{r_c}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{1}{r}t^2+\dfrac{4R+r}{p^2r}.t-\dfrac{1}{p^2r}=0$ 7. $sinA,sinB,sinC$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p}{R}t^2+\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{4R^2}t-\dfrac{pr}{2R^2}=0$ 8. $\dfrac{1}{sinA},\dfrac{1}{sinB},\dfrac{1}{sinC}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p^2+r^2+4Rr}{2pr}t^2+\dfrac{2R}{r}t-\dfrac{2R^2}{pr}=0$ 9. $cosA,cosB,cosC$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{R+r}{R}t^2+\dfrac{p^2+r^2-4R^2}{4R^2}t+\dfrac{(2R^2+r)^2-p^2}{4R^2}=0$ 10. $sin^2\dfrac{A}{2},sin^2\dfrac{B}{2},sin^2\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{2R-r}{2R}t^2+\dfrac{p^2+r^2-8Rr}{16R^2}t-\dfrac{r^2}{16R^2}=0$ $t^3-\dfrac{p^2+r^2-8Rr}{r^2}t^2+\dfrac{8R(2R-r)}{r^2}t-\dfrac{16R^2}{r^2}=0$ 11. $cotgA,cotgB,cotgC$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p^2-r^2-4Rr}{2pr}t^2+t+\dfrac{(2R+r)^2-p^2}{2pr}=0$ 12. $tgA,tgB,tgC$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{2pr}{p^2-(2R+r)^2}t^2+\dfrac{p^2-4Rr-r^2}{p^2-(2R+r)^2}t-\dfrac{2pr}{p^2-(2R+r)^2}=0$ 13. $tg\dfrac{A}{2},tg\dfrac{B}{2},tg\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{4R+r}{p}t^2+t-\dfrac{r}{p}=0$ 14. $cotg\dfrac{A}{2},cotg\dfrac{B}{2},cotg\dfrac{C}{2}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p}{r}t^2+\dfrac{4R+r}{r}t-\dfrac{p}{r}=0$ 15. $tg^2\dfrac{A}{2},tg^2\dfrac{B}{2},tg^2\dfrac{B}{2}$ là nghiệm của: $t^3+\dfrac{2p^2-(4R+r)^2}{p^2}t^2+\dfrac{p^2-8Rr-2r^2}{p^2}t-\dfrac{r^2}{p^2}=0$ 16. $cotg^2\dfrac{A}{2},cotg^2\dfrac{B}{2},cotg^2\dfrac{B}{2}$ là nghiệm của: $t^3-\dfrac{p^2-8Rr-2r^2}{r^2}t^2-\dfrac{2p^2-(4R+r)^2}{r^2}t-\dfrac{p^2}{r^2}=0$ 17. Bất đẳng thức Gerretsen: $r(16R-5r) \leq p^2 \leq 4R^2+4Rr+3r^2$
