CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ VẬT LÝ 121. Chuyển động tròn đều - Khái niệm: Một chất điểm chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo là đường tròn và có tốc độ không thay đổi theo thời gian. - Đặc trưng: + Tốc độ dài v: Quãng đường chất điểm chuyển động trong 1 đơn vị thời gian (thường là 1 giây). + Tốc độ góc \(\omega\): Góc quét của chất điểm trong 1 đơn vị thời gian (thường là 1 giây), đơn vị: rad/s. - Lưu ý: + Đơn vị của góc: 3600 = \(2\pi\) (rad) + Liên hệ giữa tốc độ góc với tốc độ dài: \(v=\omega R\) + Chu kì chuyển động (T): Là thời gian chất điểm chuyển động được một vòng tròn: \(T=\dfrac{S}{v}\rightarrow \boxed{ T = \dfrac{2\pi}{\omega}}\) + Tần số (f): Số vòng quay được trong một đơn vị thời gian (thường là 1 giây): \(\boxed{f=\dfrac{1}{T}}\) - Ví dụ: Chất điểm chuyển động trong 1 giây được 2 vòng tròn, có nghĩa góc quay là 2 x 3600, tương ứng là \(4\pi\) rad. Như vậy, chất điểm có tốc độ góc là \(\omega=4\pi\) rad/s. Chu kì T = (thời gian quay hết 1 vòng) = 0,5s. Tần số = (số vòng quay trong 1 giây) = 2 Hz. - Bài toán: Chất điểm chuyển động đều trên đường tròn (O,A). Trục tọa độ Ox thuộc mặt phẳng chứa đường tròn, gốc O trùng với tâm đường tròn. Ban đầu, chất điểm xuất phát từ M,tạo với Ox một góc \(\varphi\). Tìm tọa độ hình chiếu của chất điểm lên trục Ox theo thời gian t? Lời giải: Thời điểm ban đầu, chất điểm ở M, tạo với Ox 1 góc: \(\varphi\) Thời điểm t, chất điểm quay 1 góc \(\omega t\). Khi đó, chất điểm ở N, tạo với Ox 1 góc: \(\widehat{NOx}\)= \(\omega t+\varphi\) N' là hình chiếu của N lên trục Ox, có tọa độ: x = \(\overline{ON'}\)= \(A.cos\widehat{NOx}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=A.cos\left(\omega t+\varphi\right)\) Nhận xét: - Hình chiếu N' chuyển động lặp đi lặp lại nhiều lần quanh O. - Tọa độ của N' phụ thuộc theo thời gian là một hàm số cos. 2. Đường tròn lượng giác - Đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) là một đường tròn có bán kính 1 đơn vị có gắn các trục theo quy tắc: COS NẰM, SIN ĐỨNG. Trên đường tròn này, gốc được xác định là trục cos, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. - Cách xác định giá trị lượng giác của góc \(\alpha\): + Ta vẽ 1 tia xuất phát từ gốc O, tạo với trục cos 1 góc \(\alpha\). Tia này cắt đường tròn tại M (hình vẽ trên). + Gọi P, Q là hình chiếu của M lên trục cos, sin. + Khi đó, theo thứ tự, tọa độ của P, Q là giá trị cos, sin của góc \(\alpha\). - Ví dụ: Để xác định giá trị lượng giác góc 600, ta vẽ như hình trên, khi đó từ tọa độ hình chiếu của M lên trục cos và sin ta xác định được: cos(600) = 1/2 sin(600) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 3. Đạo hàm và ứng dụng trong vật lí a. Định nghĩa Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trong khoảng (a; b) và \(x_0\in\left(a;b\right)\). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\)khi x dần đến x0 là đạo hàm của hàm số tại x0. Kí hiệu \(f'\left(x_0\right)\) Ta có: \(f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \) b. Ứng dụng trong vật lí * Vận tốc, gia tốc trong chuyển động: Khi một chất điểm chuyển động trên một trục tọa độ thì tọa độ x phụ thuộc theo thời gian t theo hàm số: \(x = f(t)\). Như vậy, ta có: Vận tốc (tức thời): \(v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\rightarrow \boxed{v=x'_{(t)}} \) Gia tốc: \(a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}\rightarrow \boxed{ a=v'_{(t)} = x''_{(t)}}\) - Ví dụ 1: Ở lớp 10, khi học về chuyển động thẳng biến đổi đều, ta có phương trình chuyển động tổng quát: \(x = x_0 + v_0t+\frac{1}{2}at^2\). Áp dụng quy tắc trên, ta có: + Vận tốc: \(v = x'_{(t)}=v_0+at\) + Gia tốc: \(a = v'_{(t)}=(v_0+a.t)'_{(t)}=a\) Như vậy, bằng cách lấy đạo hàm ta thu được 2 công thức quen thuộc của vận tốc và gia tốc. - Ví dụ 2: Bây giờ, chúng ta xét chuyển động của hình chiếu của một chuyển động tròn đều như đã xét ở mục 1. Khi đó, phương trình tọa độ của hình chiếu này là: \(x = 4\cos (10\pi t- \frac{\pi}{2}) (cm)\) (1) + Xác định phương trình vận tốc: \(v=x'_{(t)}= -40\pi \sin(10 \pi t-\frac{\pi}{2})(cm/s)\)(2) + Xác định phương trình gia tốc: \(a = v'_{(t)}=-400\pi^2 \cos(10\pi t-\frac {\pi}{2}) (cm/s^2)\) (3) + Xác định tọa độ và tốc độ ban đầu: Ở thời điểm ban đầu, t = 0, thay vào (1) và (2) ta được x0 = 0; v0 = 40\(\pi\) (cm/s). + Tìm vận tốc, gia tốc cực đại: Từ phương trình (2) và (3), ta thấy \(v_{max}=40\pi (cm/s)\); \(a_{max}=400 \pi^2 (cm/s^2)\) (do \(-1\le sinx,cosx\le1\)) + Tìm các thời điểm vật qua vị trí cân bằng(VTCB): Vật qua VTCB khi x = 0, thay vào (1) ta có: \(4\cos (10\pi t- \frac{\pi}{2})= 0\) \(\Leftrightarrow\)\(10\pi t - \frac {\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi\) \(\Leftrightarrow\) \(t= \frac{1}{10}+\frac{k}{10}\) (\(k\in N\)) * Cường độ dòng điện tức thời (i): Ở lớp 11, ta biết: Cường độ dòng điện trung bình qua một dây dẫn được định nghĩa: \(i_{TB} = \frac {\Delta q}{\Delta t}\) (\(\Delta q\) là biến thiên điện tích trong thời gian \(\Delta t\)). Áp dụng quy tắc tương tự như trên, ta có cường độ dòng điện tức thời: \(i = \lim_{\Delta t \to 0}\frac {\Delta q}{\Delta t} \rightarrow \boxed{i= q'_{(t)}}\) * Suất điện động cảm ứng: Theo hiện tượng cảm ứng điện từ ở lớp 11, khi từ thông \(\phi\) qua 1 khung dây biến thiên sinh ra suất điện động cảm ứng. Theo quy tắc trên, chúng ta cũng thu được kết quả như sau: \(e_{cư}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{-\Delta \phi}{\Delta t} \rightarrow \boxed{ e_{cư}= -\phi'_{(t)}}\)
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Tìm các thời điểm hình chiếu này qua gốc tọa độ. \(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{10} (s)\) \(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{20} (s)\) \(t = \frac{1}{6} + \frac{k}{10} (s)\) \(t = \frac{1}{6} + \frac{k}{20} (s)\) Hướng dẫn giải: Chất điểm qua gốc tọa độ khi: x = 0 \(\Leftrightarrow\) \(6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})=0\)\(\Leftrightarrow\)\(10\pi t - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}+k\pi\)\(\Leftrightarrow\)\(t = \frac{1}{12} + \frac{k}{10} (s)\)
Một chất điểm chuyển động đều trên đường tròn bán kính R = 10 cm với tốc độ \(\omega = 0,5 \pi\) (rad/s). Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian 2s là 5 cm. 10 cm. 5\(\pi\) cm. 10\(\pi\) cm. Hướng dẫn giải: Quãng đường: \(S = v.t = \omega.R.t = 0,5\pi.10.2 = 10 \pi (cm/s) \)
Một chất điểm xuất phát từ điểm M chuyển động đều trên đường tròn bán kính 6cm, ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ. Biết tốc độ chuyển động của chất điểm là v = 60cm/s. Tìm phương trình hình chiếu của chất điểm lên trục Ox. \(x = 6\cos (10t + \frac{\pi}{3})\) (cm) \(x = 6\cos (10t - \frac{\pi}{3})\) (cm) \(x = 6\cos (10\pi t + \frac{\pi}{6})\) (cm) \(x = 6\cos (10\pi t + \frac{\pi}{6})\) (cm) Hướng dẫn giải: Tốc độ góc: \(\omega = \frac {v}{R} = \frac{60}{6} = 10\)(rad/s) Thời điểm ban đầu: \(\varphi = 60^0 = \frac{60}{180}\pi (rad) = \frac{\pi}{3} (rad)\) Vậy phương trình tọa độ hình chiếu: \(x = 6\cos (10t + \frac{\pi}{3})\)
Hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Bán kính quỹ đạo đường tròn là: 6 cm. 10 cm. 6\(\pi\) cm. 10 \(\pi\)cm. Hướng dẫn giải: Đường tròn cắt trục Ox tại 2 điểm - 6 cm và 6 cm. Vậy bán kính quỹ đạo: 6cm.
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Tìm tốc độ chuyển động của chất điểm: 60 cm/s 60\(\pi\) cm/s 30 cm/s 30\(\pi\)cm/s Hướng dẫn giải: Tốc độ góc của chuyển động: \(\omega = 10\pi (rad/s)\) Bán kính quỹ đạo: R = 6cm. Tốc độ chuyển động (tốc độ dài): \(v = \omega R = 10\pi .6 = 60\pi (cm/s)\)
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Chu kì chuyển động của chất điểm: 0,1 s 0,2 s 5 s 2 s Hướng dẫn giải: Tần số góc: \(\omega = 10\pi (rad/s)\) Chu kì: \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0,2 (s)\)
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Tìm số vòng quay của chất điểm trong 1 phút: 300 vòng 600 vòng 400 vòng 200 vòng Hướng dẫn giải: Tần số chuyển động: \(f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 Hz\), có nghĩa 1 giây chất điểm quay được 5 vòng. Vậy số vòng quay trong 1 phút là: 5 x 60 = 300 vòng.
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Tìm phương trình vận tốc của hình chiếu này: \(v = 60\pi\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm/s)\) \(v = 60\pi\cos (10\pi t + \frac{\pi}{6})(cm/s)\) \(v = 60\pi\sin (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm/s)\) \(v = -60\sin (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm/s)\) Hướng dẫn giải: Vận tốc: \(v = x'_{(t)}= -60\pi \sin(10\pi t - \frac{\pi}{3}) = 60\pi \cos(10\pi t + \frac{\pi}{6})(cm/s)\)
Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo là đường tròn. Hình chiếu của nó lên trục tọa độ Ox thuộc cùng mặt phẳng quỹ đạo, gốc O trùng tâm đường tròn có phương trình là: \(x = 6\cos (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm)\). Tìm phương trình gia tốc của hình chiếu này: \(a = 600\pi^2\cos (10\pi t - \frac{2\pi}{3})(cm/s)\) \(a = 600\pi^2\cos (10\pi t + \frac{2\pi}{3})(cm/s)\) \(a = 600\pi^2\sin (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm/s)\) \(a = -600\sin (10\pi t - \frac{\pi}{3})(cm/s)\) Hướng dẫn giải: Vận tốc: \(v = x'_{(t)}= -60\pi \sin(10\pi t - \frac{\pi}{3}) \) Gia tốc: \(a = v'_{(t)}= -600\pi^2 \cos(10\pi t - \frac{\pi}{3}) = 600\pi^2 \cos(10\pi t + \frac{2\pi}{3})(cm/s)\)
