1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Hệ Thức cơ bản: $tan{\alpha}=\frac{sin{\alpha}}{cos{\alpha}};cot{\alpha}=\frac{1}{tan{\alpha}};$ $1+tan^2{\alpha}=\frac{1}{cos^2{\alpha}};1+cot^2{\alpha}=\frac{1}{sin^2{\alpha}}$ $sin^2{\alpha}+cos^2{\alpha}=1$ Công thức cộng: $cos({\alpha}+{\beta})=cos{\alpha}cos{\beta}-sin{\alpha}sin{\beta}$ $cos({\alpha}-\beta)=cos{\alpha}cos{\beta}+sin{\alpha}sin{\beta}$ $sin({\alpha}-\beta)=sin{\alpha}cos{\beta}+cos{\alpha}sin{\beta}$ $sin({\alpha}-\beta)=sin{\alpha}cos{\beta}-cos{\alpha}sin{\beta}$ $tan({\alpha}+{\beta})=\frac{tan{\alpha}+tan{\beta}}{1-tan{\alpha}tan{\beta}};$ $tan({\alpha}-{\beta})=\frac{tan{\alpha}-tan{\beta}}{1+tan{\alpha}tan{\beta}}$ $cot({\alpha}+\beta)=\frac{cot{\alpha}cot{\beta}-1}{cot{\beta}+cot{\alpha}}; cot({\alpha}-\beta)=\frac{cot{\alpha}cot{\beta}+1}{cot{\beta}-cot{\alpha}}$ $sin{\alpha} \pm cos{\alpha}=\sqrt{2}sin({\alpha} \pm \frac{\pi}{4}); cos{\alpha} \pm sin{\alpha}=\sqrt{2}cos({\alpha} \mp \frac{\pi}{4}$ $a.sinx+b.cosx=\sqrt{a^2+b^2} (cos{\alpha}sin x+sin{\alpha}cos x)=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+{\alpha})$ với số ${\alpha} $ sao cho : $cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} và sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ Công thức nhân đôi,hạ bậc hai: $cos2{\alpha}=cos^2{\alpha}-sin^2{\alpha}=2cos^2{\alpha}-1=1-2sin^2{\alpha}$ $sin2{\alpha}=2sin{\alpha}cos{\alpha} ; tan2{\alpha}=\frac{2tan{\alpha}}{1-tan^2{\alpha}}$ $cos^2{\alpha}=\frac{1+cos2{\alpha}}{2} ; sin^2{\alpha}=\frac{1-cos2{\alpha}}{2}$ Công thức nhân ba , hạ bậc ba: $sin3{\alpha}=3sin{\alpha}-4sin^3{\alpha} ;cos3{\alpha}=4cos^3{\alpha}-3cos{\alpha}$ $tan3{\alpha}=\frac{3tan{\alpha}-tan^3{\alpha}}{1-3tan^2{\alpha}}$ $sin^3{\alpha}=\frac{3sin{\alpha}-sin3{\alpha}}{4} ;cos^3{\alpha}=\frac{3cos{\alpha}+cos3{\alpha}}{4}$ *Công thức góc phụ: Đặt $t=tan\frac{{\alpha}}{2}$ thì: $sin{\alpha}=\frac{2t}{1+t^2};cos{\alpha}=\frac{1-t^2}{1+t^2};tan{\alpha}=\frac{2t}{1-t^2}$ *Công thức biến đổi: $cos{\alpha}+cos{\beta}=2cos\frac{{\alpha}+\beta}{2}cos\frac{{\alpha}-\beta}{2}$ $cos{\alpha}-cos{\beta}=-2sin\frac{{\alpha}+\beta}{2}sin\frac{{\alpha}-\beta}{2}$ $sin{\alpha}sin{\beta}=-\frac{1}{2}[cos({\alpha}+\beta)-cos({\alpha}-\beta)]$ $sin{\alpha}-sin{\beta}=2cos\frac{{\alpha}+\beta}{2}sin\frac{{\alpha}-\beta}{2}$ $cos{\alpha}cos{\beta}=\frac{1}{2}[cos({\alpha}+\beta)+cos({\alpha}-\beta)]$ $sin{\alpha}+sin{\beta}=2sin\frac{{\alpha}+\beta}{2}cos\frac{{\alpha}-\beta}{2}$ $sin{\alpha}cos{\beta}=\frac{1}{2}[sin({\alpha}+\beta)+sin({\alpha}-\beta)]$ $cos{\alpha}sin{\beta}=\frac{1}{2}[sin({\alpha}+\beta)-sin({\alpha}-\beta)]$ $tan{\alpha} \pm tan{\beta}=\frac{sin({\alpha}\pm \beta)}{cos{\alpha}.cos{\beta}} $ $cot{\alpha} \pm cot{\beta}=\frac{sin(\beta \pm {\alpha})}{sin{\alpha}sin{\beta}}$ *Phương pháp lượng giác hóa: Nếu $|x| \leq 1$ thì có thể đặt $x=sint$ hoăc $x= cost$ Nếu $|x| \leq r , r>0$ thì có thể đặt $x=r.sint$ hoặc $x=r.cost$ Nếu $x^2+y^2=1$ thì có thể đặt $x= sint$ và $y= cost$ Nếu$ x^2+y^2=r^2$ thì có thể đặt $x=r.sint$ và $y=r.cost$ Nếu $x^2+y^2+z^2=1$ thì có thể đặt$ x=cosa,y=sina.cosb,z=sina.sinb$ Nếu$ |x| \leq 1$thì có thể đặt$ x=\frac{1}{sint}$ hoặc $x=\frac{1}{cost}$ Nễu$ x \in R$ thì có thể đặt $x= tan {\alpha} $hoặc$ x= cos{\alpha}$ Nếu có đẳng thức $a+b+c=abc $hay $ab+bc+ca=1$ thì có thể đưa về giá trị tan 3 góc của tam giác 2. BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh 1 công thức: $sin{\alpha}sin(\frac{\pi}{3}-{\alpha})sin(\frac{\pi}{3}+{\alpha})=\frac{1}{4}sin3{\alpha}$ Giải: $sin{\alpha}sin(\frac{\pi}{3}-{\alpha})sin(\frac{\pi}{3}+{\alpha})=sin{\alpha}(sin^2\frac{\pi}{3}cos^2{\alpha}-sin^2{\alpha}cos^2\frac{\pi}{3}=sin{\alpha}(\frac{3}{4}cos^2{\alpha}-\frac{1}{4}sin^2{\alpha}=\frac{sin{\alpha}}{4}(3-4sin^2{\alpha})=\frac{1}{4}sin3{\alpha}$ Dạng 2: Tính Tổng ,Tính Tích ,... Tính tổng : $A=cos\frac{2\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}$ Giải: $A.sin\frac{\pi}{7}=cos\frac{2\pi}{7}sin{\pi}{7}+cos\frac{4\pi}{7}sin\frac{\pi}{7}+cos\frac{6\pi}{7}sin{\pi}{7}$ $=\frac{1}{2}(sin\frac{3\pi}{7}-sin{\pi}{7})+\frac{1}{2}(sin\frac{5\pi}{7}-sin\frac{3\pi}{7})+\frac{1}{2}(sin\frac{\alpha}-sin \frac{5\pi}{7})$ $=-\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{7}=>A=-\frac{1}{2}$ Dạng 3 : Cực trị trong Tam giác: Cho tam giác $ABC$ bất kì : Tìm $Max P= tan \frac{A}{2}tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}$ Giải: $AM-GM$ $1=\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2} \geq 3\sqrt[3]{tan^2\frac{A}{2}tan^2\frac{B}{2}tan^2\frac{C}{2}}$ $=> P \leq \frac{\sqrt{3}}{9}$
