LTTK TEZ giới thiệu đến bạn đọc bài viết con lắc đơn trong chương trình Vật lý 12, nội dung bài viết được chia thành 03 phần: kiến thức cần nắm, ví dụ minh họa và bài tập tự giải. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Con lắc đơn Con lắc đơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng $m$, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn có độ dài $l$ và có khối lượng không đáng kể 2. Phương trình dao động của con lắc đơn Vị trí cân bằng của con lắc là vị trí mà dây treo có phương thẳng đứng. Kéo nhẹ vật nặng cho dây treo lệch khỏi vị trí cân bằng một góc rồi thả ra, con lắc dao động quanh vị trí cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật. Ở thời điểm $t$, vị trí của vật được xác định bởi li độ cong $s$ $(s = OM)$, hay li độ góc $\alpha $ (so với vị trí cân bằng $QO$), $s = l\alpha $. Vật chịu tác dụng của trọng lực $\overrightarrow P $ và phản lực $\overrightarrow R $ của dây treo. Thành phần $\overrightarrow {{P_t}} $ $\left( {{P_t} = – mg\sin \alpha } \right)$ của trọng lực luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng $O$, giống như lực kéo về trong con lắc lò xo. a) Với những dao động nhỏ của con lắc đơn $\left( {\alpha < {{10}^0}} \right)$, $\sin \alpha \approx \alpha $ (rad), phương trình động lực học của dao động là: $ma = – mg\sin \alpha $ $ \Rightarrow a \approx – g\alpha = – g\frac{s}{l}.$ $s” + \frac{g}{l}s = 0$ hay $\alpha ” + \frac{g}{l}\alpha = 0.$ Con lắc đơn dao động điều hòa, phương trình dao động có dạng: $s = {s_0}\cos (\omega t + \varphi )$, $\alpha = {\alpha _0}\cos (\omega t + \varphi )$ với tần số góc $\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} $ và với chu kì $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} .$ b) Chu kì dao động của con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ và theo độ cao (so với mặt đất và theo vĩ độ). Gia tốc trọng trường $g$ phụ thuộc vào độ cao $h$ so với mặt đất: ${g_h} = {g_0}{\left( {\frac{{{R_{TĐ}}}}{{{R_{TĐ}} + h}}} \right)^2}$, ${g_0} = G\frac{{{M_{TĐ}}}}{{R_{TĐ}^2}}.$ với $g_0$ là gia tốc trong trường ở mặt đất, $R_{TĐ}$ là bán kính Trái Đất (thường lấy $R_{TĐ} = 6400$km), $M_{TĐ}$ là khối lượng Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Gia tốc trong trường còn phụ thuộc vào vĩ độ địa lí. Độ dài $l$ của con lắc có thể phụ thuộc nhiệt độ ${t^0}$: $l = {l_0}\left( {1 + \lambda {t^0}} \right).$ 3. Cơ năng của con lắc đơn Thế năng của vật (con lắc): ${W_t} = mgl(1 – \cos \alpha ) \approx mgl\frac{{{\alpha ^2}}}{2}.$ Động năng của vật: ${W_đ} = \frac{{m{v^2}}}{2} = \frac{{m{\omega ^2}{s^2}}}{2}.$ Cơ năng toàn phần: $W = {W_đ} + {W_t}$ $ = \frac{{m{\omega ^2}s_0^2}}{2} = \frac{{m{\omega ^2}{l^2}\alpha _0^2}}{2} = \frac{{mgla_0^2}}{2} = $ hằng số. 4. Ứng dụng Dùng con lắc đơn để xác định gia tốc trong trường tại một nơi nào đó, bằng cách đo $l$, đo $T$ và tính $g$ theo công thức $g = \frac{{4{\pi ^2}l}}{{{T^2}}}.$ II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1. Một con lắc đơn có độ dài bằng $l.$ Trong khoảng thời gian $\Delta t$ nó thực hiện $6$ dao động toàn phần. Khi giảm bớt độ dài của nó $16$cm thì cùng trong khoảng thời gian $\Delta t$ như trước, nó thực hiện được 24 dao động. Cho $g = 9,8 m/{s^2}.$ Tính độ dài ban đầu, tần số ban đầu của con lắc và thời gian $\Delta t.$ Tần số ban đầu của con lắc: $f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} .$ Tần số con lắc khi giảm độ dài: $f’ = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{{l – 0,16}}} .$ Từ hai công thức trên ta có: $\frac{f}{{f’}} = \sqrt {\frac{{l – 0,16}}{l}} = \frac{1}{4}.$ Suy ra độ dài ban đầu là $l = 17$cm và tần số ban đầu là $f \approx 1,2$Hz. $\Delta t = \frac{6}{f} = \frac{6}{{1,2}} = 5s.$ Ví dụ 2. Người ta đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao $h = 10$km. Phải giảm độ dài của nó bao nhiêu để chu kì dao động của nó không thay đổi. Biết bán kính của Trái Đất $R = 6400$km. Gọi độ dài con lắc là $l$ trên mặt đất và là $l’$ ở độ cao $h.$ Gia tốc trọng trường là $g$ ở mặt đất và là $g’$ ở độ cao $h.$ Ta phải có: $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{l’}}{{g’}}} .$ Do đó: $\frac{{l’}}{{g’}} = \frac{l}{g}$ $ \Leftrightarrow l’ = \frac{{g’}}{g}l.$ Gia tốc trọng trường tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ con lắc đến tâm Trái Đất. Do đó: $\frac{{g’}}{g} = \frac{{{R^2}}}{{{{(R + h)}^2}}}.$ Vì $h$ rất nhỏ so với $R$ nên ${(R + h)^2} \approx {R^2} + 2Rh$ và $\frac{{g’}}{g} = \frac{{{R^2}}}{{{R^2} + 2Rh}} = \frac{R}{{R + 2h}}.$ Vậy: $l’ = \frac{R}{{R + 2h}}l = \frac{{6400}}{{6400 + 20}}l = 0,997l.$ Phải giảm độ dài con lắc $0,003l$, tức là $0,3%$ độ dài của nó. Ví dụ 3. Một chiếc đồng hồ quả lắc mà thanh treo quả lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài $\alpha = {2.10^{ – 5}}{K^{ – 1}}.$ Đồng hồ chạy đúng tại một nơi trên mặt biển có $g = 9,8m/{s^2}$ và nhiệt độ ${20^0}C.$ Chu kì của con lắc chạy đúng là $2$s. Khi nhiệt độ ở nơi đó tăng lên đến $30°C$ thì đồng hồ chạy nhanh hay chận đi? Mỗi ngày nhanh hay chậm bao nhiêu? Ta có: ${l_{30}} = {l_0}(1 + 30\lambda )$, ${l_{20}} = {l_0}(1 + 20\lambda ).$ Do đó: $\frac{{{T_{30}}}}{{{T_{20}}}} = \sqrt {\frac{{{l_{30}}}}{{{l_{20}}}}} $ $ = \sqrt {\frac{{{l_0}(1 + 30\lambda )}}{{{l_0}(1 + 20\lambda )}}} = \sqrt {\frac{{1 + 30\lambda }}{{1 + 20\lambda }}} .$ Áp dụng công thức gần đúng: $\sqrt {1 + \varepsilon } \approx 1 + \frac{\varepsilon }{2}$ (với $\varepsilon < < 1$) ta được: $\frac{{{T_{30}}}}{{{T_{20}}}} \approx 1 + 5\lambda .$ ${T_{30}} > {T_{20}}.$ Vì vậy, ở $30°C$ đồng hồ chạy chậm hơn. Gọi $\theta = 86400$s là độ dài của $1$ ngày đúng, $\theta + \Delta \theta $ là độ dài của $1$ ngày đo theo đồng hồ chạy chậm, ta có: $\frac{{\theta + \Delta \theta }}{\theta } = \frac{{{T_{30}}}}{{{T_{20}}}}$ hay $1 + \frac{{\Delta \theta }}{\theta } = 1 + 5\lambda .$ $ \Rightarrow \Delta \theta = \theta .5\lambda $ $ = 86400.5 \cdot 2 \cdot {10^{ – 5}} = 8,64s.$ Đồng hồ chạy chậm mỗi ngày $8,64s.$ Ví dụ 4. Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ có khối lượng $200g$ treo vào đầu sợi dây nhẹ, dài $I = 2m.$ Cho gia tốc trọng trường $g = 9,8m/{s^2}.$ Cần phải cung cấp cho con lắc năng lượng ban đầu bằng bao nhiêu để nó dao động với biên độ góc ${\alpha _0} = {6^0}.$ Bỏ qua ma sát. Do bỏ qua ma sát nên năng lượng của con lắc bảo toàn: $W = \frac{1}{2}m{v^2} + mgl(1 – \cos \alpha ) = $ hằng số. Suy ra: $W = {W_{t(\max )}} = mgl \left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right).$ Vì ${\alpha _0}$ là góc nhỏ $\left( {{\alpha _0} = {6^0} \approx 0,105{\rm{rad}}} \right)$, ta có: $\left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{{{\alpha _0}}}{2} \approx \frac{{\alpha _0^2}}{2}.$ Do đó: $W = mgl\left( {1 – \cos {\alpha _0}} \right) \approx mgl\frac{{\alpha _0^2}}{2}.$ Thay số: $W \approx mgl\frac{{\alpha _0^2}}{2}$ $ = 0,2.9,8.2 \cdot \frac{{{{(0,105)}^2}}}{2}$ $ = 0,022J.$ Ví dụ 5. Ba con lắc đơn cùng độ dài $l$, treo các quả cầu nhỏ cùng kích thước lần lượt làm bằng chì, sắt, nhựa. Kéo cả ba con lắc ra khỏi vị trí cân bằng cùng một góc $6°$ rồi buông ra cùng lúc, không vận tốc đầu. Điều nào sau đây là đúng ? A. Con lắc bằng sắt có tần số dao động lớn nhất. B. Con lắc bằng nhựa dao động chậm hơn cả. C. Con lắc bằng chì về đến vị trí cân bằng sớm hơn hai con lắc kia. D. Cả ba con lắc dao động với cùng tần số góc. Cả ba con lắc dao động với cùng tần số góc, vì tần số góc không phụ thuộc khối lượng của vật. Chọn D. Ví dụ 6. Có hai con lắc đơn mà độ dài của chúng hơn kém nhau $24$cm. Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc $1$ thực hiện được số dao động toàn phần gấp hai lần so với con lắc $2.$ Độ dài của mỗi con lắc là: A. $32cm$ và $56cm.$ B. $16cm$ và $40cm.$ C. $8cm$ và $32cm.$ D. $40cm$ và $64cm.$ $\frac{{{f_1}}}{{{f_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} = 2$ $ \Rightarrow \frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = 4$, ${l_2} – {l_1} = 24cm.$ Suy ra: ${l_2} = 32cm$ và ${l_1} = 8cm.$ Chọn C. Ví dụ 7. Câu nào sau đây đúng khi nói về con lắc đơn? A. Tần số dao động con lắc đơn giảm khi nhiệt độ tăng. B. Khi dao động với biên độ nhỏ, chu kì con lắc đơn không phụ thuộc nhiệt độ. C. Khi dao động với biên độ nhỏ, chu kì con lắc đơn không phụ thuộc độ cao của con lắc. D. Con lắc dao động nhanh hơn nếu đưa con lắc từ mặt đất lên đỉnh núi cao (bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ). Khi nhiệt độ tăng, độ dài dây treo tăng, tần số dao động con lắc đơn giảm. Chọn A. Ví dụ 8. Một con lắc đơn đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ cực đại là $0,5s.$ Trong quá trình dao động, thế năng của con lắc biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kì là: A. $4s.$ B. $2s.$ C. $1s.$ D. $0,25s.$ Thời gian để con lắc đơn đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ cực đại bằng $\frac{T}{4} = 0,5s.$ Suy ra, chu kì dao động của con lắc đơn $T = 2s.$ Động năng của con lắc biến thiên tuần hoàn với tần số gấp hai lần tần số của dao động, suy ra chu kì biến thiên $T$ của động năng (hoặc thế năng) bằng nửa chu kì của dao động $T.$ Vậy $T = 1s.$ Chọn C. II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1. Một con lắc đơn có độ dài $l.$ Trong khoảng thời gian $\Delta t$ nó thực hiện $10$ dao động toàn phần. Người ta giảm bớt độ dài của nó $10cm$ thì cùng trong khoảng thời gian $\Delta t$ như trước, nó thực hiện được $20$ dao động. Cho $g = 9,8m/{s^2}.$ Tính độ dài ban đầu và tần số ban đầu của con lắc. Bài tập 2. Một con lắc đơn dài $l = 20cm$, treo tại một điểm cố định. Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc bằng $0,1rad$ về bên phải, rồi truyền cho con lắc một vận tốc bằng $14cm/s$ theo phương vuông góc với dây về phía vị trí cân bằng. Coi con lắc dao động điều hòa. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều đương hướng từ vị trí cân bằng sang bên phải, gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Cho $g = 9,8m/{s^2}.$ Viết phương trình dao động đối với li độ dài của con lắc. Bài tập 3. Một con lắc đơn gồm một quả cầu khối lượng $60g$ treo vào một sợi dây dài $1m$, ở một nơi có gia tốc trọng trường $g = 9,86m/{s^2}.$ Bỏ qua mọi ma sát. Góc lệch cực đại của con lắc so với phương thẳng đứng là ${\alpha _0} = {30^0}.$ a) Lập công thức tính vận tốc của quả cầu và lực căng của dây treo. b) Tính vận tốc lớn nhất của quả cầu. Bài tập 4. Một con lắc đơn có chu kì dao động $T = 4s$, thời gian để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ cực đại là: A. $0,5s.$ B. $1s.$ C. $1,5s.$ D. $2s.$ Bài tập 5. Người ta đưa một đồng hồ quả lắc lên độ cao $2km.$ Coi nhiệt độ không đổi. Biết bán kính Trái Đất là $6400km.$ Mỗi ngày đêm đồng hồ chạy chậm: A. $13,5s.$ B. $27s.$ C. $2,7s.$ D. $54s.$ Bài tập 6. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc nhỏ. Chu kì của con lắc không thay đổi khi: A. tăng độ dài của con lắc. B. đưa con lắc lên đỉnh tháp cao. C. tăng biên độ góc đến $24°.$ D. giảm khối lượng của con lắc. Bài tập 7. Chu kì dao động điều hòa của một con lắc đơn có độ dài dây treo $l$ tại nơi có gia tốc trọng trường $g$ là: A. $T = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{l}{g}} .$ B. $T = 2\pi \sqrt {\frac{g}{l}} .$ C. $T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} .$ D. $T = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{g}{l}} .$ Bài tập 8. Con lắc đơn có độ dài $l$ dao động điều hòa với tần số $f.$ Nếu tăng độ dài lên hai lần thì tần số thay đổi thế nào? A. Tăng $2$ lần. B. Tăng $\sqrt 2 $ lần. C. Giảm $2$ lần. D. Giảm $\sqrt 2 $ lần. Bài tập 9. Tại một nơi xác định, chu kì của con lắc đơn tỉ lệ thuận với: A. căn bậc hai độ dài con lắc. B. độ dài con lắc. C. căn bậc hai của gia tốc trọng trường. D. gia tốc trọng trường.
