Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho một tập hợp khác rỗng \(D \subset R\) Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi sỗ thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x), số f(x) được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f. a) Hàm số cho bằng biểu thức: Nếu không có giải thích gì thêm thì tập xác định của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định. b) Sự biến thiên của hàm số: Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2});\) Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2});\) Ta có: Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên. Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống. Chú ý: Nếu \(f({x_1}) =f({x_2})\) với mọi \({x_1},{x_2} \in K\) tức là f(x)=c với mọi \({x} \in K\)( c là hằng số) thì ta có hàm số không đổi (còn gọi là hàm số hằng) trên K. c) Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hay không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó. Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} \ne {x_2},\frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} > 0\). Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi \(\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} \ne {x_2},\frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} < 0\) 2. Hàm số chẵn hàm số lẻ a) Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D: Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta có -x cũng thuộc D và f(-x)=f(x). Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta có -x cũng thuộc D và f(-x)=-f(x). b) Tính chất Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 3. Tịnh tiến một đồ thị Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G)của hàm số y=f(x); p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó: Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=f(x)+q. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=f(x)-q; Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=f(x+p); Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y=f(x-p); Bài tập minh họa Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số: a) \(y=\frac{{x + \sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\) b) \(y=\frac{{{x^3} + 6x}}{{({x^2} - 4)\sqrt {x - 5} }}\) Hướng dẫn: a) \(y=\frac{{x + \sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 5x + 6}}\) Hàm số được xác định khi: \( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \ge 0}\\ {{x^2} - 5x + 6 \ne 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \le x \le 2}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne 2}\\ {x \ne 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số là D=[-2;2) b) \(y=\frac{{{x^3} + 6x}}{{({x^2} - 4)\sqrt {x - 5} }}\) Hàm số được xác định khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 4 \ne 0}\\ {x - 5 \ge 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ne \pm 2}\\ {x \ge 5} \end{array}} \right.\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D = {\rm{[}}5; + \infty )\) Bài 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau: a) \(f(x)={x^3} + 2{x^2} + 1\) b) \(f(x)={x^4} - 2{x^2} + 1996\) c) \(f(x)={x^3} - 6x\) Hướng dẫn: a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có \(f( - x) = {( - x)^3} + 2{( - x)^2} + 1 = - {x^3} + 2{x^2} + 1 \ne f(x) \ne f( - x)\) Vậy hàm số không chẵn không lẻ. b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có \(f( - x) = {( - x)^4} - 2{( - x)^2} + 1996 = {x^4} - 2{x^2} + 1996 = f(x)\) Vậy hàm số đã cho là hàm chẵn. c) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có \(f( - x) = {( - x)^3} - 6( - x) = - {x^3} + 6x = - f(x)\) vậy hàm số đã cho là hàm lẻ.
