Bài 1 trang 62 sgk đại số 10. Giải các phương trình a) \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}\) = \(\frac{2x -5}{4}\); b) \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\); c) \(\sqrt{3x - 5} = 3\); d) \(\sqrt{2x + 5} = 2\). Giải a) \(\frac{x^{2}+3x+2}{2x +3}\) = \(\frac{2x -5}{4}\) ĐKXĐ: \(2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - \frac{3}{2}\). Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung ta được \(\Rightarrow 4(x^2+ 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3)\) \(\Leftrightarrow 4x^2+12x + 8 = 4x^2- 4x - 15\) \(\Leftrightarrow x = - \frac{23}{16}\) (nhận). b) \(\frac{2x +3}{x - 3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{x^{2}-9} + 2\) ĐKXĐ: \(x ≠ ± 3\). Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta được \(\Rightarrow (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2(x^2-9)\) \(\Leftrightarrow2{x^2} + 9x + 9 - 4x + 12 = 24 + 2{x^2} - 18\) \(\Leftrightarrow 5x = -15 \Leftrightarrow x = -3\) (loại). Vậy phương trình vô nghiệm. c) \(\sqrt{3x - 5} = 3\) ĐKXĐ: \(x \ge {5 \over 3}\) Bình phương hai vế ta được: \(\Rightarrow 3x - 5 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{14}{3}\) (nhận). d) \(\sqrt{2x + 5} = 2\) ĐKXĐ: \(x \ge - {5 \over 2}\) Bình phương hai vế ta được: \(\Rightarrow 2x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\). Bài 2 trang 62 sgk đại số 10. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số \(m\) a) \(m(x - 2) = 3x + 1\); b) \(m^2x + 6 = 4x + 3m\); c) \((2m + 1)x – 2m = 3x – 2\). Giải a) \(m(x - 2) = 3x + 1\) \(⇔ (m – 3)x = 2m + 1\). +) Nếu \(m ≠ 3\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{2m +1}{m-3}\). +) Nếu \(m = 3\) phương trình trở thành \(0.x = 7\). Phương trình vô nghiệm. b) \(m^2x + 6 = 4x + 3m\) \(⇔ (m^2– 4)x = 3m – 6\). +) Nếu \(m^2– 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2\), phương trình có nghiệm \(x = \frac{3m - 6}{m^{2}-4}=\frac{3}{m+2}\). +) Nếu \(m = 2,\) phương trình trở thành \(0.x = 0\) đúng với mọi \(x ∈ \mathbb R\). Phương trình có vô số nghiêm. +) Nếu \(m = -2\), phương trình trở thành \(0.x = -12\), phương trình vô nghiệm. c) \((2m + 1)x – 2m = 3x – 2\) \(⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1)\). +) Nếu \(m ≠ 1\), phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\). +) Nếu \(m = 1\), phương trình trở thành \(0.x=0\) đúng với mọi \(x ∈\mathbb R\). Phương trình có vô số nghiệm. Bài 3 trang 62 sgk đại số 10. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\) của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ? Giải Gọi \(x\) là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu. Điều kiện \(x\) nguyên, \(x > 30\). Lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai nên số quýt trong rổ thứ nhât còn \(x-30\), số quýt trong rổ thứ hai là: \(x+30\) Theo đầu bài lấy \(30\) quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng \(\frac{1}{3}\) của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} (x – 30)^2= x + 30 ⇔ x^2- 63x + 810 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 45 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = 18 \text{( loại )}\hfill \cr} \right.\) Vậy số quýt ở mỗi rổ lúc đầu là \(45\) quả. Bài 4 trang 62 sgk đại số 10. Giải các phương trình a) \(2{x^4}-{\rm{ }}7{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(3{x^{4}} + {\rm{ }}2{x^{2}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải a) Đặt \(x^2= t ≥ 0\) ta được: \(\eqalign{ & 2{t^2} - 7t + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t_1} = 1\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr {t_2} = {5 \over 2} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \({t_1}=1\) ta được \({x_{1,2}} = \pm 1\) +) Với \({t_2} = {5 \over 2}\) ta được \({x_{3,4}} = \pm {{\sqrt {10} } \over 2}\). Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm. b) Đặt \(x^2= t ≥ 0\) ta được \(\eqalign{ & 3{t^2} + 2t - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t_1} = - 1 \text{ (loại )}\hfill \cr {t_2} = {1 \over 3} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \({t_2} = {1 \over 3} \) ta được \({x_{1,2}} = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Bài 5 trang 62 sgk đại số 10. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba) a) \(2x^2– 5x + 4 = 0\); b) \(-3x^2+ 4x + 2 = 0\); c) \(3x^2+ 7x + 4 = 0\); d) \(9x^2– 6x – 4 = 0\). Giải a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím màn hình hiện ra \(x_1= 3.137458609\). Ấn tiếp màn hình hiện ra \(x_2= -0.637458608\). Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là \(x_1 ≈ 3.137\) và \(x_2 ≈ -0.637\). b) Ấn được \(x_1 = 1.72075922\). Muốn lấy tròn \(3\) số thập phân ta ấn tiếp Kết quả \(x_1= 1.721\). Ấn tiếp được \(x_2= 0.387\). c) Ấn liên tiếp Kết quả \(x_1= -1.000\). Ấn tiếp được \(x_2 = -1.333\). d) Ấn Kết quả \(x_1= 0.333\). Ấn tiếp được \(x_2= 0.333\). Bài 6 trang 62 sgk đại số 10. Giải các phương trình. a) \(|3x – 2| = 2x + 3\); b) \(|2x -1| = |-5x – 2|\); c) \(\frac{x-1}{2x -3}=\frac{-3x+1}{|x+1|};\) d) \(|2x + 5| = x^2+5x +1\). Giải a) ĐKXĐ: \(2x + 3 ≥ 0\). Bình phương hai vế thì được: \({\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {3x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)^2} - {\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left( {3x - 2{\rm{ }} + {\rm{ }}2x + {\rm{ }}3} \right)\left( {3x-2{\rm{ }}-2x-3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 5}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr x = 5\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. b) Bình phương hai vế: \(\eqalign{ & {(2x - 1)^2} = {( - 5x - 2)^2} \cr & \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} - {( - 5x - 2)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow (2x - 1 + 5x + 2)(2x - 1 - 5x - 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow (7x + 1)( - 3x - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 7} \hfill \cr x = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có hai nghiệm c) ĐKXĐ: \(x ≠ \frac{3}{2}, x ≠ -1\). Quy đồng rồi khử mẫu thức chung \(\Rightarrow (x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1)\) +) Với \(x ≥ -1\) ta được: \(\eqalign{ & (x - 1)(x + 1) = (2x - 3)( - 3x + 1) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 1 = - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 11x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{11 + \sqrt {65} } \over {14}}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr x = {{11 - \sqrt {65} } \over {14}}\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr & \cr & \cr} \) +) Với \(x < -1\) ta được: \(\eqalign{ & (x - 1)( - x - 1) = (2x - 3)( - 3x + 1) \cr & \Leftrightarrow - {x^2} + 1 = - 6{x^2} + 11x - 3 \Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{11 + \sqrt {41} } \over {10}}\text{ (loại)} \hfill \cr x = {{11 - \sqrt {41} } \over {10}}\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. d) ĐKXĐ: \(x^2+5x +1 > 0\) +) Với \(x ≥ \frac{-5}{2}\) ta được: \(\eqalign{ & 2x + 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr x = - 4\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(x < \frac{-5}{2}\) ta được: \(\eqalign{ & - 2x - 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 6 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr x = - 1\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=1\) và \(x=-6\). Bài 7 trang 63 sgk đại số 10. Giải các phương trình a) \(\sqrt{5x +6} = x - 6\); b) \(\sqrt{3 -x}\) = \(\sqrt{x +2} +1\); c) \(\sqrt{2x^{2} +5} = x + 2\). d) \(\sqrt{4x^{2} +2x + 10} = 3x + 1\). Giải ĐKXĐ: \(x – 6 ≥ 0 ⇔ x > 6\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 5x + 6 = {(x - 6)^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \text{( loại )}\hfill \cr x = 15 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=15\). b) ĐKXĐ: \(– 2 ≤ x ≤ 3\). Bình phương hai vế ta được \(3 - x = x + 3 + 2\sqrt{x+2}\) \(⇔ -2x = 2\sqrt{x+2}\). Điều kiện \(x ≤ 0\). Bình phương tiếp ta được: \(\eqalign{ & {x^2} = x + 2 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \text{( thỏa mãn )} \hfill \cr x = 2 \text{( loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=-1\) c) ĐKXĐ: \(x ≥ -2\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 2{x^2} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 - \sqrt 3 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = 2 + \sqrt 3 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 2 - \sqrt 3\) và \(x = 2 + \sqrt 3\) d) ĐK: \(x ≥ \frac{-1}{3}\). Bình phương hai vế ta được: \(\eqalign{ & 4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \text{( thỏa mãn )}\hfill \cr x = - {9 \over 5} \text{( loại )}\hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\). Bài 8 trang 63 sgk đại số 10. Cho phương trình \(3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\). Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. Giải Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\). Theo định lí Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 4{x_1} = {{2(m + 1)} \over 3} \Rightarrow {x_1} = {{m + 1} \over 6}\) Thay \(x_1=\frac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được: \(\eqalign{ & 3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6} + 3m - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 3 \hfill \cr m = 7 \hfill \cr} \right. \cr} \) +) Với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{2}{3}\); \(x_2= 2\). +) Với \(m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(x_1=\frac{4}{3}\); \(x_2= 4\).
