Bài 1 trang 79 SGK Đại số 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của \(x\)? a) \(8x > 4x\); b) \(4x > 8x\); c) \(8x^2> 4x^2\); d) \(8 + x > 4 + x\). Giải Nếu \(x < 0\) thì a) sai; Nếu \(x > 0\) thì b) sai; Nếu \(x = 0\) thì c) sai; d) Đúng với mọi giá trị của \(x\). Bài 2 trang 79 sgk đại số 10. Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất? \(A=\frac{5}{x};\) \(B=\frac{5}{x}+1;\) \(C=\frac{5}{x}-1;\) \(D=\frac{x}{5}.\) Giải Với \(x > 5\) thì \(0<\frac{5}{x}<1\) suy ra \(\frac{5}{x}-1<0\) trong khi \(\frac{5}{x}>0\), \(\frac{5}{x}+1>0\), \(\frac{x}{5}>0\), \(\frac{x}{5}+1>0 .\) Vậy với cùng số \(x > 5\) thì biểu thức \(C=\frac{5}{x}-1;\) có giá trị nhỏ nhất. Bài 3 trang 79 sgk đại số 10. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh \((b-c)^2< a^2\); b) Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\). Giải a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia. \(a + b > c \Rightarrow a + b - c > 0\) \(a + c > b \Rightarrow a + c - b > 0\) \(\Rightarrow [a + (b +c)](a - (b - c)) > 0\) \( \Rightarrow {a^2} - {(b - c)^2} > 0 \Rightarrow {a^2} > {(b - c)^2}\) b) Từ kết quả câu a), ta có: \({a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b - c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab\) \( \Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}\) Bài 4 trang 79 sgk đại số 10. Chứng minh rằng: \({x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\), \(∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0\). Giải Ta có: \((x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy\) Do \(x ≥ 0, y ≥ 0\) \(\Rightarrow x + y ≥ 0\), Ta có \(\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy\) \(\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}\) Bài 5 trang 79 sgk đại số 10. Chứng minh rằng \(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\). Giải Đặt \(\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0\). Vế trái trở thành: \({t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)\) +) Nếu \(t = 0\), hoặc \(t = 1\) thì \(f(t) = 1 >0\) +) Với \(0 < t <1\), \(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^8} + {\rm{ }}({t^2} - {\rm{ }}{t^5}) + 1{\rm{ }} - {\rm{ }}t\) \({t^8} > {\rm{ }}0;1{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} > {\rm{ }}0,;{t^2} - {\rm{ }}{t^{5}} = {t^3}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}t} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0\). Suy ra \(f(t) > 0\). +) Với \(t > 1\) thì \(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^5}({t^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}t\left( {t{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0\) Vậy \(f(t) > 0 ∀t ≥ 0\). Hay \(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\). Bài 6 trang 79 sgk đại số 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất. Giải Ta có: \(2S_{OAB} = AB.OH = AB\) (vì \(OH = 1\)). Vậy diện tích \(∆OAB\) nhỏ nhất khi \(AB\) có độ dài ngắn nhất. Vì \(AB = AH + HB\) mà \(AH.HB = OH^2= 1\) nên \(AB\) có giá trị nhỏ nhất khi \(AH = HB\) tức \(∆OAB\) vuông cân: \(OA = OB\) và \(AB = 2AH = 2OH = 2\). \(AB^2= 4 = 2OA^2= 2OH = OA = OB = \sqrt2\). Khi đó tọa độ của \(A, B\) là \(A(\sqrt 2; 0)\) và \(B(0; \sqrt2)\).
