Bài 1 trang 87 sgk đại số 10. Tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau: a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\) b) \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\) c) \(2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\) d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\) Giải a) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|x \ne 0,x + 1 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) b) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} - 4 \ne 0,{x^2} - 4x + 3 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\) c) ĐKXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \) d) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in \mathbb R|x + 4 \ne 0,1 - x \ge 0} \right\} = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]\) Bài 2 trang 88 sgk đại số 10. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm. a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\) b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\) c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\) Giải a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\) Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\). Vế trái dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm. b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\) Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\), \(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\) Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\) Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\). Bất phương trình vô nghiệm. c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\) \(\eqalign{ & 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr & \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \) \( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm. Bài 3 trang 88 sgk đại số 10. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương? a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\); b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\); c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\) d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\). Giải a) Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \(-1\) và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2. b) Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương. c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{x^{2}+1} > 0\) với mọi \(x\) ta được bất phương trình thứ 3. d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \(D =[1;+\infty)\). \(2x + 1 > 0 , ∀x ∈ D\). Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \((2x + 1) \) ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương. Bài 4 trang 88 sgk đại số 10. Giải các bất phương trình sau a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\) b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\). Giải a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}<0\) \( \Leftrightarrow 12\left [ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}\right ]<0\) \( \Leftrightarrow 6(3x + 1) - 4(x - 2) - 3(1 - 2x) < 0\) \( \Leftrightarrow 20x + 11 < 0\) \( \Leftrightarrow20x < - 11\) \( \Leftrightarrow x < -\frac{11}{20}.\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ; - {{11} \over {20}}} \right)\) b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\) \( \Leftrightarrow 2x^2+ 5x – 3 – 3x + 1 ≤ x^2+ 2x – 3 + x^2- 5\) \( \Leftrightarrow 0x ≤ -6\) ( Vô nghiệm). Vậy bất phương trình vô nghiệm. Bài 5 trang 88 sgk đại số 10. Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\) b) \(\left\{\begin{matrix} 15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2(x-4))< \frac{3x-14}{2}. \end{matrix}\right.\) Giải a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\) \(6x + \frac{5}{7}< 4x + 7 \Leftrightarrow 6x - 4x < 7 - \frac{5}{7} \Leftrightarrow x < \frac{22}{7}\) (1) \(\frac{8x+3}{2} < 2x +5 \Leftrightarrow 4x - 2x < 5 - \frac{3}{2} \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\) (2) Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình: \(T= (-\infty ;\frac{22}{7})\) ∩ \((-\infty ;\frac{7}{4})\) = \((-\infty ;\frac{7}{4})\). b) \(15x - 2 > 2x + \frac{1}{3} \Leftrightarrow x > \frac{7}{39}\) (1) \( 2(x - 4) < \frac{3x-14}{2} \Leftrightarrow x < 2\) (2) Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình là: \(S = \left ( \frac{7}{39} ; +\infty \right ) ∩ (-∞; 2) = \left ( \frac{7}{39} ; 2\right ).\)
