Câu 1 trang 106 SGK Đại số 10.Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau: a) \(x\) là số dương b) \(y\) là số không âm c) Với mọi số thực \(α, | α|\) là số không âm d) Trung bình cộng của hai số dương \(a\) và \(b\) không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Trả lời a) \(x > 0\) b) \(y ≥ 0\) c) \(∀ α ∈\mathbb R, | α|≥ 0\) d) \(∀ a,b>0, {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \) Câu 2 trang 106 SGK Đại số 10. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số \(a\) và \(b\) nếu biết: a) \(ab>0\) b) \({a \over b} > 0\) c) \(ab<0\) d) \({a \over b} < 0\) Trả lời a) Hai số \(a\) và \(b\) có cùng dấu b) Hai số \(a\) và \(b\) có cùng dấu c) Hai số \(a\) và \(b\) có dấu trái nhau d) Hai số \(a\) và \(b\) có dấu trái nhau Câu 3 trang 106 SGK Đại số 10. Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng? (A)\(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.xy<1\) (B) \(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.⇒ {x \over y} <1\) (C)\(\left\{ \matrix{0 < x < 1 \hfill \cr y < 1 \hfill \cr} \right.⇒ xy<1\) (D) \(\left\{ \matrix{x > 1 \hfill \cr y > 1 \hfill \cr} \right.⇒ x – y < 1\) Trả lời + Lấy \(x = 2, y = 3 ⇒ xy=2.3=6>1\). Vậy (A) sai. + Lấy \(x = 6<1, y = 2 ⇒ {x \over y} = {6 \over 2} = 3 > 1\). Vậy (B) sai. + Do \(0<x< 1, y <1\). Vậy (C) đúng + Lấy \(x=4;y=2⇒ x-y=2>1\). Vậy D sai. Câu 4 trang 106 SGK Đại số 10. Khi cân một vật với độ chính xác đến \(0,05kg\), người ta cho biết kết quả là \(P = 26,4kg\). Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào. Trả lời: Khối lượng thực của vật nằm trong: \((26,4-0,05;26,4+0,05) (kg)\). Câu 5 trang 106 SGK Đại số 10. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số: \(y =f(x) = x+1\) và \(y = g(x) =3-x\) và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn a) \(f(x)=g(x)\) b) \(f(x)>g(x)\) c) \(f(x)<g(x)\) Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình. Trả lời: Đồ thị hàm số : a) Đồ thị của \(y = f(x) = x+1\) và \(y = g(x) =3-x\) cắt nhau tại điểm \(A(1;2)\) Tại \(x=1\) thì \(f(x)=g(x)=2\) Kiểm tra bằng tính toán: \(F(x)=g(x) ⇔ x+1 = 3-x ⇔ x = 2\) b) Khi \(x>1\) thì đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nằm phía trên đồ thị \(y = g(x)\). Vậy với \(x>1\) thì \(f(x)>g(x)\). Kiểm tra lại bằng tính toán: \(f(x)>g(x) ) ⇔ x+1 > 3-x ⇔ 2x>2 ⇔ x>1\) c) Với \(x<1\) thì đồ thị hàm số \(y=g(x)\) nằm phía trên dồ thị \(y=f(x)\) Vậy với \(x<1\) thì \(g(x)>f(x)\) Kiểm tra lại bằng tính toán: \(f(x) < g(x) ⇔ x+1 < 3-x ⇔ 2x< 2 ⇔ x < 1\) Câu 6 trang 106 SGK Đại số 10. Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\) Trả lời: Vế trái bất đẳng thức có thể viết là: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}\) = \(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b})\) Ta biết với \(a, b, c > 0\) áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: \(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}} + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}} + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}} = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6\) Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\) Câu 7 trang 107 SGK Đại số 10. Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương? Trả lời: + Điều kiện của bất phương trình \(f(x).g(x)\) là các điều kiện của ẩn \(x\) sao cho các biểu thức \(f(x)\) và \(g(x)\) có nghĩa. + Hai bất phương trình là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. + Biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình có cùng tập nghiệm gọi là phép biến đổi tương đương. Câu 8 trang 107 SGK Đại số 10. Nêu quy tắc giải bất phương trình \(ax+by ≤ c\) Trả lời: + Ta vẽ đường thẳng \((d): ax+by=c\) + Chọn điểm \(M(x_0;y_0) ∉ (d)\) (thường là điểm \((0;0))\) và tính giá trị \(ax_0+by_0\) + Nếu \(ax_0+by_0>c\) thì nửa mặt phẳng bờ \((d)\) không chứa \(M(x_0;y_0)\) là tập hợp các điểm mà tọa độ của nó là nghiệm của bất phương trình. + Nếu \(ax_0+by_0<c\) thì nửa mặt phẳng bờ \((d)\) chứa \(M(x_0;y_0)\) là tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình. Câu 9 trang 107 SGK Đại số 10. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai. Trả lời: +) Nếu biệt số \(Δ\) của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+bx+c (a ≠0)\) là số âm thì \(a.f(x)>0, ∀x\in \mathbb R\) +) Nếu \(Δ=0\) thì \(a.f(x) >0,∀x\in \mathbb R \backslash\left\{{{ - b} \over {2a}}\right\}\) +) Nếu biệt số \(Δ>0\) thì i) \(a.f(x)>0\) khi \(x ∉[x_1;x_2]\) ii) \(a.f(x)>0\) khi \(x \in (x_1;x_2)\) (\(x_1;x_2\) là hai nghiệm của \(f(x)\) với \(x_1<x_2\)) Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10. Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) Trả lời: Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) ( ta có \(x>0\) và \(y>0\)) \({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\) Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1) Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si) Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\) Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\) \(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \) Câu 11 trang 107 SGK Đại số 10. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2= (a-b)(a+b)\), hãy xét dấu \(f(x)= x^4– x^2+6x – 9\) và \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\) b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau: \(x(x^3– x + 6) > 9\) Trả lời: a) \(f(x) = {x^4} - {x^2} + 6x - 9 = {\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} = \left( {{x^2} + x - 3} \right)\left( {{x^2} - x + 3} \right)\) \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\)) Suy ra \(f(x)>0\) với \(x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\) hoặc \(x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2}\) \(g(x) = x^2– 2x - {4 \over {{x^2} - 2x}}\) = \({{{{({x^2} - 2x)}^2} - {2^2}} \over {{x^2} - 2x}} = {{({x^2} - 2x + 2)({x^2} - 2x - 2)} \over {{x^2} - 2x}}\) Bởi vì \(x^2– 2x + 2 > 0 ,∀x ∈\mathbb R\) nên dấu của \(g(x)\) là dấu của \({{{x^2} - 2x - 2} \over {{x^2} - 2x}}\) Lập bảng xét dấu: b) \(\eqalign{ & x({x^3} - x + 6) > 9 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 6x - 9 > 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - {(x - 3)^2} > 0 \Leftrightarrow ({x^2} - x + 3)({x^2} + x - 3) > 0 (1) \cr} \) Vì \({{x^2} - x + 3} > 0, ∀x ∈\mathbb R\) ( vì \(a = 1> 0, Δ = 1- 4.3<0\)) Do đó (1) \(\Leftrightarrow ({x^2} + x - 3) > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr x > {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \hfill \cr} \right.\) Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình là \(\left\{x\in \mathbb Z|x\le-3\text{ hoặc } x\ge2\right\}\) Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\) Trả lời: Biệt thức của tam thức vế trái: \({\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right)}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\) \({ = {\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right){\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right)}\) \({ = {\rm{ }}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {b + a + c} \right)\left( {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right){\rm{ }} < 0}\) (vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba \(b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0\)) Do đó tam giác cùng dấu với \(b^2>0, ∀x\). Nghĩa là: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\) Câu 13 trang 107 SGK Đại số 10. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \matrix{3x + y \ge 9 \hfill \cr x \ge y - 3 \hfill \cr 2y \ge 8 - x \hfill \cr y \le 3 \hfill \cr} \right.\) Trả lời Hệ đã cho tương đương với \(\left\{ \matrix{ y \ge - 3x + 9 \hfill \cr y \le x + 3 \hfill \cr y \ge {{ - x} \over 2} + 4 \hfill \cr y \le 3 \hfill \cr} \right.\) Miền nghiệm là miền gạch chéo kể cả các đường biên của nó Câu 14 trang 107 SGK Đại số 10. Số \(-2\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau: (A). \(2x +1 > 1 – x\) (B). \((2x + 1) (1 - x) < x^2\) (C). \({1 \over {1 - x}} + 2 \le 0\) (D) \((2 - x) (x + 2)^2<0\) Trả lời Ta có: \(2x +1 > 1 – x ⇔ x>0\). Vậy (A) sai Xét (B), dễ thấy \((-4 + 1) (1 + 2) < 0 < (-2)^2\). Vậy (B) đúng Dễ thấy (C) và (D) sai Câu 15 trang 107 SGK Đại số 10. Bất phương trình \((x+1) \sqrt x ≤ 0\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau? (A). \(\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0\) (B). \((x-1) \sqrt x<0\) (C). \((x+1)^2\sqrt x ≤ 0\) (D). \((x+1)^2\sqrt x < 0\) Trả lời: Ta có: \((x-1) \sqrt x\) \(\sqrt {x{{(x + 1)}^2}} \le 0 ⇔ x = 0\) hoặc \(x =-1\). Vậy (A) không tương đương \((x-1) \sqrt x<0⇔ x <1\) \((x+1)^2\sqrt x ≤ 0 ⇔ x = 0\). Vậy (C) tương đương Dễ thấy\((x+1)^2≥0\), \(\sqrt x≥0 ⇒ (x+1)^2\sqrt x≥ 0\) Do đó \((x+1)^2\sqrt x < 0\) vô nghiệm. Vậy (D) không tương đương. chọn C Câu 16 trang 107 SGK Đại số 10. Bất phương trình : \(mx^2+(2m-1)x+m+1<0\) có nghiệm khi (A). \(m=1\) (B). \(m =3\) (C). \(m = 0\) (D). \(m=0,25\) Trả lời - \(m=1: x^2+ x+2> 0 ;∀x\) (A) sai - \(m = 3\) có : \(3x^2+ 5x + 4 > 0 ;∀x\) (B) sai - Với \(m = 0\), bất phương trình trở thành \(–x+1< 0\) có nghiệm, Vậy (C) đúng. - Với \(m = 0,25\) thì có \(0,25x^2-0,5x+1,25 > 0 ;∀x\) có nghiệm \(x = 0\) Vậy (D) sai. Câu 17 trang 107 SGK Đại số 10. Chỉ ra hệ bất phương trình nào vô nghiệm trong các hệ bất phương trình sau: (A) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 2x \le 0 \hfill \cr 2x + 1 < 3x + 2 \hfill \cr} \right.\) (B) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 4 > 0 \hfill \cr {1 \over {x + 2}} < {1 \over {x + 1}} \hfill \cr} \right.\) (C) \(\left\{ \matrix{{x^2} - 5x + 2 < 0 \hfill \cr {x^2} + 8x + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\) (D) \(\left\{ \matrix{|x - 1| \le 2 \hfill \cr |2x + 1| \le 3 \hfill \cr} \right.\) Trả lời (A) có nghiệm \(0 ≤x≤ 2\) (B) có nghiệm \(x< -2\) hoặc \(x>2\) (C) vô nghiệm (D) có ngiệm \(-1≤ x≤1\) Chọn C
