Bài tập 1 trang 159 SGK Đại số 10. Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 3x + 4} - \sqrt { - {x^2} + 8x - 15} \) a) Tìm tập xác định \(A\) của hàm số \(f(x)\) b) Giả sử \(B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.\) . Hãy xác định các tập hợp \(A\backslash B\) và \(R\backslash (A\backslash B)\) Trả lời: a) Tập xác định của \(f(x)\) : \(A{\rm{ }} = {\rm{\{ }}x{\rm{ }} \in {\rm{ }}R|{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\text { và } - {x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}15{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\} \) \(x^2+ 3x + 4\) có biệt thức \(Δ = 3^2– 16 < 0\) Theo định lí dấu của tam thức: \(x^2+ 3x + 4 ≥ 0 ,∀x ∈\mathbb R\) \(-x^2+ 8x – 15 = 0 ⇔ x_1= 3, x_2= 5\) \(-x^2+ 8x – 15 > 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5 ⇒ A = [3; 5]\) b) \(A\backslash B = [3; 4]\) \(R\backslash(A\backslash B) = (-∞; 3) ∪ (4;+∞)\) Câu 2 trang 160 SGK Đại số 10. Cho phương trình: \(mx^2– 2x – 4m – 1 = 0\) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m≠0\) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của \(m\) để \(- 1\) là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại. Trả lời: a) \(\eqalign{ & \Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) = 4{m^2} + m + 1 \cr & = (2m + {1 \over 4}) + {{15} \over {16}} > 0,\forall m \cr} \) Vậy với \(m ≠ 0\) phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có \(2\) nghiệm phân biệt. b) \(\eqalign{ & f( - 1) = m + 2 - 4m - 1 = - 3m + 1 = 0 \cr & \Rightarrow m = {1 \over 3} \cr} \) Với \(m = {1 \over 3}\) , phương trình có nghiệm \(x_1= -1\). Gọi nghiệm kia là \(x_2\). Theo định lí Vi-et: \({x_1} + {x_2} = - 1 + {x_2} = {2 \over m} = {2 \over {{1 \over 3}}} \Rightarrow {x_2} = 7\) Câu 3 trang 160 SGK Đại số 10. Cho phương trình: \({x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0\) a) Xem xét với giá trị nào của \(m\), phương trình trên có nghiệm. b) Giả sử \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa \(x_1\) và \(x_2\) không phụ thuộc vào \(m\). c) Xác định \(m\) để hiệu các nghiệm của phương trình bằng \(4\). Trả lời: a) \(Δ’ = 4m^2– 9(m-1) = -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0\) \(\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\) Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) b) Với \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2= 4m\) (1) và \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\) (2) Từ (1)và (2) suy ra: \({x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1)^2} \Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} - 4)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\) Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m\). c) Ta có: \(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m ⇒ x_2= 2(m+1)\) Thay biểu thức của \(x_2\) vào phương trình thì được: \(4(m+1)^2 – 8m(m+1) + 9(m-1)^2= 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr} \) Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\). Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10. Chứng minh các bất đẳng thức: a) \(5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)\), biết \(x – 1 > 0\) b) \(x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0\), biết \(x + y ≥ 0\) c) \(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5\) , biết rằng \(a, b, c\) cùng lớn hơn và \(a + b + c = 1\) Trả lời: a) \(x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4> x^3> x^2> x > 1\) \(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4} > {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}5\) \(\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4}\left( {x - 1} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}\left( {x - 1} \right)({\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5} - 1{\rm{ }} > {\rm{ }}5{\rm{ }}\left( {x - 1} \right)\) b) \({{x^5} + {\rm{ }}{y^{5}}-{\rm{ }}{x^4}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{y^4} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\left( {{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^{3}} + {\rm{ }}{y^3}} \right)}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}} \right)} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}2xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}\) \({ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)}^2}\left( {{x^2} + {\rm{ }}{y^2}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}0}\) do \(x + y ≥ 0; (x - y)^2 ≥ 0, x^2 + y^2≥ 0\) c) \(\eqalign{ & {(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2} \cr & = 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \cr & \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \cr & \le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25 \cr & \cr} \) Suy ra Đpcm Câu 5 trang 160 SGK Đại số 10. Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác: \(\left\{ \matrix{ x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr 3x + 5y - z = 9 \hfill \cr 5x - 2y - 3z = - 3 \hfill \cr} \right.\) (I) Trả lời: Nhân phương trình thứ nhất với \(-3\) rồi cộng vào phương trình thứ hai. Lại nhân phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình thứ ba thì được hệ: \((I) ⇔ (II)\) \(\left\{ \matrix{ x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr - 4y - 7z = 6 \hfill \cr - 17y - 13z = - 8 \hfill \cr} \right.\) Nhân phương trình thứ hai của hệ \((II)\) với \(17\), nhân phương trình thứ ba của hệ \((II)\) với \((-4)\) rồi cộng hai phương trình đó lại ta được: \((II) ⇔ (III)\) \(\left\{ \matrix{ x + 3y + 2z = 1 \hfill \cr - 4y - 7z = 6 \hfill \cr - 67z = 134 \hfill \cr} \right.\) Hệ phương trình \((III)\) có dạng tam giác. Tìm giá trị các ẩn ngược từ dưới lên dễ dàng tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho: \((x; y; z) = (-1; 2; -2)\) Câu 6 trang 160 SGK Đại số 10. a) Xét dấu biểu thức \(f(x) = 2x(x+2) – (x+2)(x+1)\) b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau \(y = 2x(x+2) (C_1)\) \(y = (x+2)(x+1) (C_2)\) Tính tọa độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của \((C_1)\) và \((C_2)\) c) Tính các hệ số \(a, b, c\) để hàm số \(y = ax^2+ bx + c\) có giá trị lớn nhất bằng \(8\) và đồ thị của nó đi qua \(A\) và \(B\). Trả lời: a) \(f(x) = (x+2)(x-1)\) \(f(x) > 0\) với \(x < -2\) hoặc \(x > 1\) \(f(x) ≤ 0\) với \(-2 ≤ x ≤ 1\) b) \(y = 2x (x + 2) = 2(x+1)^2– 2\) Bảng biến thiên: Hàm số : \(y{\rm{ }} = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {(x + {3 \over 2})^2} - {1 \over 4}\) Bảng biến thiên Đồ thị (C1) và (C2) Hoành độ các giao điểm \(A\) và \(B\) của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0 ⇔ x_1= -2, x_2= 1\) \(⇔ A(-2; 0) , B(1; 6)\) c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {{ac - {b^2}} \over {4a}} \hfill \cr a{( - 2)^2} + b( - 2) + c = 0 \hfill \cr a{(1)^2} + b(1) + c = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 2,b = 0,c = 8 \hfill \cr a = - {2 \over 9},b = {{16} \over 9},c = {{40} \over 9} \hfill \cr} \right.\) Câu 7 trang 161 Đại số 10. Chứng minh các hệ thức sau: a) \({{1 - 2{{\sin }^2}a} \over {1 + \sin 2a}} = {{1 - \tan a} \over {1 + \tan a}}\) b) \({{\sin a + \sin 3a + \sin 5a} \over {\cos a + \cos 3a + \cos 5a}} = \tan 3a\) c) \({{{{\sin }^4}a - {{\cos }^4}a + {{\cos }^2}a} \over {2(1 - \cos a)}} = {\cos ^2}{a \over 2}\) d) \({{\tan 2x\tan x} \over {\tan 2x - \tan x}} = \sin 2x\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & {{1 - 2{{\sin }^2}a} \over {1 + \sin 2a}} = {{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a} \over {{{\cos }^2}a + {{\sin }^2}a + 2\sin a\cos a}} \cr & = {{\cos a - \sin a} \over {\cos a + \sin a}} = {{1 - {{\sin a} \over {\cos a}}} \over {1 + {{\sin a} \over {\cos a}}}} \cr & = {{1 - \tan a} \over {1 + \tan a}} \cr} \) b) \(\eqalign{ & {{\sin a + \sin 3a + \sin 5a} \over {\cos a + \cos 3a + \cos 5a}} \cr & = {{2\sin {{a + 5a} \over 2}\cos {{5a - a} \over 2} + \sin 3a} \over {2\cos {{a + 5a} \over 2}\cos {{5a - a} \over 2} + \cos 3a}} = {{\sin 3a(1 + 2\cos 2a)} \over {\cos 3a(1 + 2\cos 2a)}} \cr & = \tan 3a \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{{{\sin }^4}a - {{\cos }^4}a + {{\cos }^2}a} \over {2(1 - \cos a)}} = {{({{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a)({{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a) + {{\cos }^2}a} \over {2(1 - \cos a)}} \cr & = {{{{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a + {{\cos }^2}a} \over {4{{\sin }^2}{a \over 2}}} = {{4{{\sin }^2}{a \over 2}{{\cos }^2}{a \over 2}} \over {4{{\sin }^2}{a \over 2}}} \cr & = {\cos ^2}{a \over 2} \cr} \) d) \(\eqalign{ & {{\tan 2x\tan x} \over {\tan 2x - \tan x}} \cr & = {{{{2\tan x} \over {1 - {{\tan }^2}x}}.\tan x} \over {{{2\tan x} \over {1 - {{\tan }^2}x}} - \tan x}} = {{2\tan x} \over {{{\tan }^2}x + 1}} \cr & = \sin 2x \cr} \) Câu 8 trang 161 SGK Đại số 10. Rút gọn các biểu thức sau: a) \({{1 + \sin 4a - \cos 4a} \over {1 + \cos 4a + \sin 4a}}\) b) \({{1 + \cos a} \over {1 - \cos a}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a\) c) \({{\cos 2x - \sin 4x - \cos 6x} \over {\cos 2x + \sin 4x - \cos 6x}}\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & {{1 + \sin 4a - \cos 4a} \over {1 + \cos 4a + \sin 4a}} = {{2{{\sin }^2}2a + 2\sin 2a\cos 2a} \over {2{{\cos }^2}2a + 2\sin 2a\cos 2a}} \cr & = {{2\sin 2a(\sin 2a + \cos 2a)} \over {2\cos 2a(\sin 2a + \cos 2a)}} = \tan 2a \cr} \) b) \(\eqalign{ & {{1 + \cos a} \over {1 - \cos a}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a = {{2{{\cos }^2}{a \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{a \over 2}}}.{{2{{\sin }^2}{a \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{a \over 2}}} - {\cos ^2}{a \over 2} \cr & = 1 - {\cos ^2}{a \over 2} = {\sin ^2}{a \over 2} \cr} \) c) \(\eqalign{ & {{\cos 2x - \sin 4x - \cos 6x} \over {\cos 2x + \sin 4x - \cos 6x}} = {{(cos2x - \cos 6x) - sin4x} \over {(cos2x - \cos 6x) + sin4x}} \cr & = {{-2\sin {{2x + 6x} \over 2}\sin {{6x - 2x} \over 2} - \sin 4x} \over {-2\sin {{2x + 6x} \over 2}\sin {{2x - 6x} \over 2} + \sin 4x}} \cr & = {{2\sin 2x - 1} \over {2\sin 2x + 1}} \cr} \) Câu 9 trang 161 SGK Đại số 10. Tính a) \(4(cos{24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0})\) b) \(96\sqrt 3 \sin {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6}\) c) \(\tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0}\) Trả lời: a) \(\eqalign{ & cos{24^0} + \cos {48^0} = \cos ({36^0} - {12^0}) + \cos ({36^0} + {12^0}) \cr & = 2\cos {36^0}\cos {12^0} \cr & \cos {84^0} + \cos {12^0} = 2\cos {36^0}\cos {48^0} \cr & 4(\cos {24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0}) = 8\cos {36^0}(\cos {12^0} - \cos {48^0}) \cr & = 8\cos {36^0}.2\sin {30^0}.\sin {18^0} = 8\cos {36^0}\sin {18^0} \cr & = 8\cos {36^0}.\sqrt {{{1 - \cos {{36}^0}} \over 2}} \cr} \) Đặt \(36^0= x\) ta có: \(\eqalign{ & sin3x{\rm{ }} = {\rm{ }}sin{\rm{ }}\left( {{{180}^0} - 3x} \right) = sin2x \cr & \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 2\sin x\cos x \cr & \Leftrightarrow 3 - 4(1 - {\cos ^2}x) = 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \cr & \Leftrightarrow 4co{s^2}x - 2\cos x - 1 = 0 \cr & \Rightarrow {\mathop{\rm cosx}\nolimits} = \cos {36^0} = {{1 + \sqrt 5 } \over 4} \cr} \) Vậy : \(4(cos{24^0} + \cos {48^0} - \cos {84^0} - \cos {12^0}) = 2(1 + \sqrt 5 )\sqrt {{{3 - \sqrt 5 } \over 8}} = 2\) b) \(\eqalign{ & 96\sqrt 3 \sin {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {48}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr & = 48\sqrt 3 \sin {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {24}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr & = 24\sqrt 3 \sin {\pi \over {12}}\cos {\pi \over {12}}\cos {\pi \over 6} \cr & = 12\sqrt 3 \sin {\pi \over 6}\cos {\pi \over 6} = 6\sqrt 3 \sin {\pi \over 3} = 9 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0} \cr & = {{\cos {{81}^0}} \over {\sin {{81}^0}}} + {{\sin {{81}^0}} \over {\cos {{81}^0}}} - ({{\cos {{27}^0}} \over {\sin {{27}^0}}} + {{\sin {{27}^0}} \over {\cos {{27}^0}}}) \cr & = {1 \over {\sin {{81}^0}.cos{{81}^0}}} - {1 \over {\sin {{27}^0}.cos{{27}^0}}} \cr & = {2 \over {\sin {{18}^0}}} - {2 \over {\sin {{54}^0}}} = {2 \over {\cos {{72}^0}}} - {2 \over {\cos {{36}^0}}} \cr & = {2 \over {2{{\cos }^2}{{36}^0} - 1}} - {2 \over {\cos {{36}^0}}} \cr} \) Thay \(\cos {36^0} = {{1 + \sqrt 5 } \over 4}\) ta được: \(\tan {9^0} - \tan {63^0} + \tan {81^0} - \tan {27^0} = 4\) Câu 10 trang 161 SGK Đại số 10. Rút gọn a) \(\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5}\) b) \(\sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7}\) Trả lời: a) Nhân biểu thức với \(\sin {x \over 5}\),ta có: \(\eqalign{ & A\sin {x \over 5} = \sin {x \over 5}\cos {x \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over 2}\sin {{2x} \over 5}\cos {{2x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over 4}\sin {{4x} \over 5}\cos {{4x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} = {1 \over 8}\sin {{8x} \over 5}\cos {{8x} \over 5} \cr & = {1 \over {16}}\sin {{16x} \over 5} \cr} \) Suy ra biểu thức rút gọn \(A =\sin{{16x} \over 5}:16\sin {x \over 5}\) b) \(\eqalign{ & B = \sin {x \over 7} + 2\sin {{3x} \over 7} + \sin {{5x} \over 7} = 2\sin {{3x} \over 7} + (\sin {x \over 7} + \sin {{5x} \over 7}) \cr & = 2\sin {{3x} \over 7} + 2\sin {1 \over 2}({{5x} \over 7} + {x \over 7})cos{1 \over 2}({{5x} \over 7} - {x \over 7}) \cr & = 2\sin {{3x} \over 7}(1 + \cos {{2x} \over 7}) = 4\sin {{3x} \over 7}{\cos ^2}{x \over 7} \cr} \) Câu 11 trang 161 SGK Đại số 10. Chứng minh rằng trong một tam giác \(ABC\) ta có: a) \(\tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C\) b) \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\) Trả lời: a) Ta có: \(\eqalign{ & A + B{\rm{ }}C = \pi \Rightarrow A = \pi - (B + C) \cr & \tan A = \tan \left[ {\pi - (B + C)} \right] = - \tan (B + C) \cr & = {{\tan B + \tan C} \over {\tan B\tan C - 1}} \cr & \Rightarrow \tan A(\tan B\tan C - 1) = \tan B + \tan C \cr} \) ⇒đpcm b) \(VT= 2\sin(A + B) \cos(A - B)+ 2 \sin C \cos C \) \(= 2\sin C [\cos (A - B) + \cos C]\) \(=2\sin C [\cos(A - B) - \cos (A + B)]\) \(= 4\sin C\sin A \sin B\) (Đpcm) Câu 12 trang 161 Đại số 10. Không sử dụng máy tính, hãy tính: \({{\sin {{40}^0} - \sin {{45}^0} + \sin {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6(\sqrt 3 + \tan {{15}^0})} \over {3 - \sqrt 3 \tan {{15}^0}}}\) Trả lời: Chú ý rằng: \(sin{45^0} = {\rm{ }}cos{45^0},{\rm{ }}sin{40^0} = {\rm{ }}cos{50^0},{\rm{ }}sin{50^0} = {\rm{ }}cos{40^0}\) Ta được: \(\eqalign{ & {{\cos {{50}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}} \over {\cos {{40}^0} - \cos {{45}^0} + \cos {{50}^0}}} - {{6.3({{\sqrt 3 } \over 3} + \tan {{15}^0})} \over {3(1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\tan {{15}^0})}} \cr & = 1 - 6({{\tan {{30}^0} + \tan {{15}^0}} \over {1 - \tan {{30}^0}.\tan {{15}^0}}}) \cr & = 1 - 6\tan {45^0} = - 5 \cr} \)
