Câu 6 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Phát biểu mệnh đề đảo của nguyên lí “ Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai? Giải Mệnh đề đảo là: “Trong một tam giác, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó cân”. Mệnh đề đảo đúng. Ví dụ: giả sử hai đường cao BK = CK Ta có: \(\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}.BH.AC = {1 \over 2}.CK.AB \cr & \Rightarrow AC = AB \cr} \) Vậy tam giác ABC cân tại A. Câu 7 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh định lý sau bằng phản chứng: “Nếu a, b là hai số dương thì \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) Giải Giả sử: \(a + b < 2\sqrt {ab} \) . Ta có: \(a + b - 2\sqrt {ab} < 0 \Rightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} < 0\) (vô lý) Vậy \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) Câu 8 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ”. Giải “a và b là hai số hữu tỉ là điều kiện đủ để tổng a + b cũng là số hữu tỉ” Câu 9 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5”. Giải “Một số chia hết cho 5 là điều kiện cần để nó chia hết cho 15.” Câu 10 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu định lí “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó là 1800”. Giải Điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng hai góc đối diện của nó là 1800 Câu 11 trang 12 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh định lý sau bằng phản chứng “Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Giải Giả sử n không chia hết cho 5, khi đó n = 5k + r ( với r = ± 1; ± 2). Suy ra n2 = (5k + r)2 = 25k2 + 10kr + r2 Vì r2 = 1; 4 nên n2 không chia hết cho 5, vô lí Vậy n chia hết cho 5. Câu 12 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao. Điền dấu “x” vào ô trống thích hợp trong bảng sau Đáp án Câu 13 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD đã cho là một hình chữ nhật, b) 9801 là số chính phương. Giải a) Tứ giác ABCD đã cho không phải là một hình chữ nhật b) Số 9801 không là số chính phương. Câu 14 trang 13 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800”; Q: “Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp”. Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai. Giải Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối là 1800 thì nó là tứ giác nội tiếp”. Mệnh đề này đúng. Câu 15 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao. Xét hai mệnh đề: P: “4686 chia hết cho 6” Q: “4686 chia hết cho 4” Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và cho biết mệnh đề này đúng hay sai. Giải Mệnh đề P ⇒ Q là: “Nếu 4686 chia hết cho 6 thì 4686 chia hết cho 4. Mệnh đề này sai vì P đúng, Q sai. Câu 16 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề: “Tam giác ABC là tám giác vuông tại A nếu và chỉ nếu AB2 + AC2 = BC2”. Khi viết mệnh đề này dưới dạng P ⇔ Q, hãy nêu mệnh đề P và mệnh đề Q. Giải Mệnh đề P: “Tam giác ABC vuông tại A”. Mệnh đề Q: “AB2 + AC2 = BC2” Câu 17 trang 14 SGK Đại số Đại số 10 Nâng cao. Cho mệnh đề chứa biến P(n) “ “n = n2”, với n là số nguyên. Điều dấu “x” vào ô vuông thích hợp. Giải a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai e) Đúng f) Sai Câu 18 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: a) Mọi học sinh trong lớp em đều thích môn Toán b) Có một học sinh trong lớp em chưa biết sử dụng máy tính c) Mọi học sinh trong lớp em đều biết đá bóng d) Có một học sinh trong lớp em chưa bao giờ được đi tắm biển. Giải a) Có ít nhất một học sinh trong lớp em không thích môn Toán b) Mọi học sinh trong lớp em đều biết sử dụng máy tính c) Có ít nhất một học sinh trong lớp em không biết đá bóng d) Mọi học sinh trong lớp em đều đã được đi tắm biển. Câu 19 trang 14 SGK Đại số 10 Nâng cao. Xác định xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đó. a) \(\exists x\, \in \,R,{x^2} = 1\) b) \(\exists n\, \in \,N,\,n(n + 1)\) là một số chính phương c) ∀x ∈ R, (x – 1)2 ≠ x – 1 d) ∀x ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4. Giải a) Mệnh đề “\(\exists x\, \in \,R,{x^2} = 1\)” là đúng vì x = 1 thì 12 = 1 Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ R, x2 ≠ 1” b) Mệnh đề “\(\exists n\, \in \,N,\,n(n + 1)\)" là một số chính phương, đúng vì: Với n = 0; n(n + 1) = 0 là một số chính phương Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ N, n(n + 1) không là số chính phương. c) Mệnh đề “∀x ∈ R, (x – 1)2 ≠ x – 1” là sai vì: x = 1 : (1 – 1)2 = 1 – 1 Mệnh đề phủ định là “\(\exists x \in R;\,{(x - 1)^2} = x - 1\) ” d) Mệnh đề “∀x ∈ N, n2 + 1 không chia hết cho 4” là đúng vì: Với n = 2k (k ∈ N) thì n2 + 1 lẻ nên không chia hết cho 4. Với n = 2k + 1 (k ∈ N) thì n2 + 1 = (2k + 1)2 + 1 = 4k2 + 4k + 2 không chia hết cho 4. Mệnh đề phủ định là: “\(\exists n \in N,\,{n^2} + 1\) chia hết cho 4”. Câu 20 trang 15 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây. Mệnh đề “\(\exists x \in R;\,{x^2} = 2\) ”, khẳng định rằng: A. Bình phương của một số thực bằng 2 B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2 C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng 2 D. Nếu x là một số thực thì x2 = 2 Giải Chọn B. Câu 21 trang 15 SGK Đại số 10 Nâng cao. Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong đội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh đề chứa biến “x cao trên 180cm”. Chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây: Mệnh đề ““∀x ∈ X; P(x)” khẳng định rằng: A. Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên 180cm. B. Trong số các cầu thủ của đội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180 cm. C. Bất cứ ai cao trên 180cm đều là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. D. Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của đội tuyển bóng rổ. Giải Chọn A.
