Bài 27 trang 58 SGK Đại số 10 nâng cao. Cho các hàm số : a) \(y = -x^2- 3\); b) \(y = (x - 3)^2\); c) \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\) d) \(y = - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\) Không vẽ đồ thị, hãy mô tả đồ thị của mỗi hàm số trên bằng cách điền vào chỗ trống (...) theo mẫu: - Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ... - Parabol có trục đối xứng là đường thẳng... - Parabol hướng bề lõm (lên trên/ xuống dưới)... Giải a) Đồ thị hàm số \(y = -x^2- 3\) – Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (0; -3); - Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 0 - Parabol hướng bề lõm xuống dưới. b) Đồ thị hàm số \(y = (x - 3)^2\) – Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (3; 0); - Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 3; - Parabol hướng bề lõm lên trên. c) Đồ thị hàm số \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\) - Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (0; 1); - Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 0; - Parabol hướng bề lõm về phía trên. d) Đồ thị hàm số \(y = - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\) - Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (-1; 0); - Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = -1; - Parabol hướng bề lõm về xuống dưới. Bài 28 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 + c. Tìm a và c trong mỗi trường hợp sau: a) y nhận giá trị bằng 3 khi x = 2 và có giá trị nhỏ nhất là -1; b) Đỉnh của parabol (P) là I(0; 3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(-2; 0). Giải a) Ta có: \(y(2) = 3 ⇔ 4a + c = 3 \;\;(1)\) \(y\) có giá trị nhỏ nhất là \(-1\) khi \(c = -1\) và \(a > 0\) Thay \(c = -1\) vào (1) ta được \(a = 1\) (nhận) Vậy \(a = 1; c = -1\) b) \(I (0; 3) ∈ (P)\) nên \(c = 3\) \(A(-2; 0) ∈ (P)\) nên \(4a + c = 0 ⇒ a = - {3 \over 4}\) Vậy \(a = - {3 \over 4} ; c = 3\) Bài 29 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = a(x - m)2. Tìm a và m trong mỗi trường hợp sau. a) Parabol (P) có đỉnh là I(-3; 0) và cắt trục tung tại điểm M(0; -5); b) Đường thẳng y = 4 cắt (P) tại hai điểm A(-1; 4) và B(3; 4). Giải a) (P) có đỉnh \(I(m; 0)\) nên \(m = -3\) \(M (0; -5) ∈ (P); y = a(x + 3)^2 \) nên \(-5 = 9a ⇒ a = - {5 \over 9}\) Vậy \(a = - {5 \over 9} ; m = -3\) b) \(A(-1; 4) ∈ (P)\) và \(B(3; 4) ∈ (P)\) nên: \(\left\{ \matrix{ a{( - 1 - m)^2} = 4 \hfill \cr a{(3 - m)^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a{(m + 1)^2}=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr a{(m - 3)^2} = 4\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\) Từ (1) và (2) suy ra: \({\left( {m + 1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}1\) Thay m = 1 vào (1) ta được : \(a = 1\) Vậy \(a = 1; m = 1\) Bài 30 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao. Viết mỗi hàm số sau đây thành dạng \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}a{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}p} \right)^2} + q\) từ đó hãy cho biết đồ thị của nó có thể suy ra từ đồ thị hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ và mô tả cụ thể các phép tịnh tiến. a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}12\); b) \({y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{x^2} - {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}9}\) Giải a) Ta có: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}4\) Đồ thị hàm số \(y = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}4\) có được nhờ tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số \(y = x^2\) về phải 4 đơn vị, rồi xuống dưới 4 đơn vị. b) Ta có: \(y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3\left( {{x^2} + {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}21\) \(\Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)}^{2}} + {\rm{ }}21 \) Đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)}^{2}} + {\rm{ }}21 \) có được nhờ tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số \(y = -3x^2\)sang trái 2 đơn vị, rồi lên trên 21 đơn vị. Bài 31 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao. Hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6\) có đồ thị là Parabol (P). a) Tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của (P). b) Vẽ Parabol (P). c) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y ≥ 0 Giải a) Ta có: a = -2; b = -4; c = 6 \(\eqalign{ & {x_0} = {{ - b} \over {2a}} = {4 \over { - 4}} = - 1 \cr & \Rightarrow {y_0} = - 2{( - 1)^2} - 4( - 1) + 6 = 8 \cr} \) Tọa độ đỉnh (P) là: \(I = (-1; 8)\) Phương trình trục đối xứng của (P) là: \(x = -1\) b) Đồ thị (P): Giao đồ thị với \(Ox\) : \(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.\) c) Ta có: \(y ≥ 0 ⇔ -3 ≤ x ≤ 1\) Bài 32 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao. Với mỗi hàm số y = -x2 + 2x + 3 và \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\) , hãy: a) Vẽ đồ thị của mỗi hàm số. b) Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y > 0. c) Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0. Đáp án a) Tọa độ hàm số: y = -x2 + 2x + 3 Tọa độ đỉnh I(1, 4) Bảng giá trị: x01-13y3400Đồ thị: \(y = 0 ⇔ x = -1\) hoặc \(x = 3\) \(y > 0 ⇔ -1 < x < 3\) \(y < 0 ⇔ x < -1\) hoặc \(x > 3\) b) Đồ thị hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\) Tọa độ đỉnh \(I( - 1; - {9 \over 2})\) Bảng giá trị: x-102-4y \( - {9 \over 2}\)-400 Đồ thị hàm số: Đồ thị: \(y = 0 \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = - 4 \hfill \cr} \right.\) \(y > 0 ⇔ x < -4\) hoặc \(x > 2\) \(y < 0 ⇔ -4 < x < 2\) Bài 33 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao. Lập bảng theo mẫu sau rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp (nếu có): Đáp án a) Ta có: \({x_0} = - {b \over {2a}} = {6 \over 6} = 1 \Rightarrow {y_0} = {3.1^2} - 6.1 + 7 = 4\) a = 3 > 0. Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4. b) Ta có: \({x_0} = - {b \over {2a}} = {5 \over { - 10}} = - {1 \over 2} \Rightarrow {y_0} = {{17} \over 4}\) a = -5 < 0 Vậy hàm số có giá trị lớn nhất khi x = \( - {1 \over 2}\) Giá trị lớn nhất bằng \({{17} \over 4}\) c) Ta có: \({x_0} = - {b \over {2a}} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0\) a = 1 > 0 Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 3 Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0 d) Ta có: \({x_0} = - {b \over {2a}} = {1 \over 2} \Rightarrow {y_0} = 0\) a = -4 < 0. Hàm số có giá trị lớn nhất khi x = \({1 \over 2}\) Giá trị lớn nhất bằng 0 Ta có bảng sau: Bài 34 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao. Gọi (P) là đồ thị hàm số tại y = ax2 + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt số Δ trong mỗi trường hợp sau: a) (p) nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành b) (p) nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành c) (p) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành Đáp án a) (P) nằm hoàn toàn phía bên trục hoành thì a > 0 và Δ < 0 (do đỉnh \(I( - {b \over {2a}};{\Delta \over {4a}})\) ). b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì a < 0 và Δ < 0 c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành thì a < 0 và Δ > 0 Bài 35 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của các hàm số sau: a) \(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\) b) y = -x2 + 2|x| + 3 c) y = 0,5x2 - |x – 1| + 1 Đáp án a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = \,{x^2} + \sqrt 2 x\) (P1) rồi suy ra đồ thị hàm số: \(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\) (P) Hoành độ của đỉnh: \({x_0} = - {b \over {2a}} = {{ - \sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow {y_0} = {1 \over 2} - 1 = - {1 \over 2}\) Đỉnh \(I( - {{\sqrt 2 } \over 2}; - {1 \over 2})\) Bảng giá trị: x-1 \( - {{\sqrt 2 } \over 2}\)0y \(1 - \sqrt 2 \) \( - {1 \over 2}\)0Đồ thị hàm số: Ta giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thì của hàm số \(y = \,{x^2} + \sqrt 2 x\) phía dưới trục hoành qua Ox ta được đồ thị của hàm \(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\) ( đồ thị là phần nét liền trên hình vẽ) Bảng biến thiên: b) Vẽ đồ thị hàm số y = -x2 + 2x + 3 (P1) rồi suy ra đồ thị hàm số: y = -x2 + 2|x| + 3 (P) Hoành độ đỉnh: \({x_0} = - {b \over {2a}} = {{ - 2} \over { - 2}} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\) Đỉnh I (1, 4) Bảng giá trị: x012y343Đồ thị hàm số: Bảng biến thiên c) y = 0,5x2 - |x – 1| + 1 Ta có: \(y = \left\{ \matrix{ 0,5{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,\,\,;x \ge 1 \hfill \cr 0,5{x^2} + x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x < 1 \hfill \cr} \right.\) Đồ thị hàm số: Bảng biến thiên: Bài 36 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao. Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) \(y = \left\{ \matrix{ - x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,;x \le - 1 \hfill \cr - {x^2} + 3\,\,\,\,\,;x > - 1 \hfill \cr} \right.\) b) \(y = \left\{ \matrix{ {1 \over 2}{(x + 3)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x \le - 1 \hfill \cr 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x > - 1 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Đường thẳng y = -x + 1 qua A(1, 0) và B(-1, 2) Parabol y = -x2 + 3 có đỉnh I(0, 3) Đồ thị: b) Đồ thị hàm số: Bài 37 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao. Khi một quả bóng được đá lên sẽ đạt đến độ cao nhất, rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao l,2m. Sau đó ls, nó đạt được độ cao 8,5m, và 2s sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m (hình dưới đây). a) Hãy tìm: Hàm số có đồ thị trùng với quỹ đạo của bóng trong tình huống trên. b) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (chính xác đến hàng phần trăm). c) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn) Đáp án: a) Giả sử \(h = f(t) = at^2 + bt + c (a ≠ 0)\) Theo đề bài, ta có hệ sau: \(\left\{ \matrix{ f(0) = 1,2 \hfill \cr f(1) = 8,5 \hfill \cr f(2) = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ c = 1,2 \hfill \cr a + b + c = 8,5 \hfill \cr 4a + 2b + c = 6 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ c = 1,2 \hfill \cr a + b = 7,3 \hfill \cr 2a + b = 2,4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4,9 \hfill \cr b = 12,2 \hfill \cr c = 1,2 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(h = f(t) = -4,9t^2+ 12,2t + 1,2\) b) Bóng chạm đất khi: \(h = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = - 0,09\,\,(l) \hfill \cr t = 2,58 \hfill \cr} \right.\) Vậy bóng chạm đất sau gần 2,58 giây c) Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ đỉnh của parabol chính là: \({y_0} = - {\Delta \over a} = {{ - 43,09} \over { - 4,9}} \approx 8,794(m)\) Bài 38 trang 61 SGK Đại số 10 nâng cao. (Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch)) Khi du lịch đến thành phố Xanh lu-i (Mĩ) bạn sẽ thấy một cái cổng lớn hình parabol hướng bề lõm về phía dưới. Đó là cổng Ac-xơ. Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ dưới đây (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). a) Tìm hàm số có đồ thị là parabol nói trên (các hệ số chính xác đến hàng phần nghìn). b) Tính chiều cao của công (Tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, tính chính xác đến hàng đơn vị). Đáp án a) Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol trên là: \(f(x) = ax^2 + bx + c\) Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \matrix{ f(0) = 0 \hfill \cr f(10) = 43 \hfill \cr f(162) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ c = 0 \hfill \cr 100a + 10b + c = 43 \hfill \cr 162{a^2} + 162b + c = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ c = 0 \hfill \cr 100a + 10b = 43 \hfill \cr 162a + b = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = - {{43} \over {1520}} \hfill \cr b = {{3483} \over {760}} \hfill \cr} \right.\) Vậy: \(f(x) = - {{43} \over {1520}}{x^2} + {{3483} \over {760}}x\) b) Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol, tức là: \({y_0} = f( - {b \over {2a}}) = f(81) \approx 186\,(m)\)
