Đại số 10 nâng cao - Chương 3 - Bài 5: Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn

Bài 45 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x - y = 2 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 164 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Giải
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra \(y = x – 2\)
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
\(\eqalign{
& {x^2} + {(x - 2)^2} = 164 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 164 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = - 8 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(x = 10 ⇒ y = 8\)
Với \(x = -8 ⇒ y = -10\)
b) Thay \(y = 1 – 2x\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
\(\eqalign{
& {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(x = 1 ⇒ y = -1\)
Với \(x = - {2 \over 3} \Rightarrow y = {9 \over 5}\)



Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)
c)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} - 3y = 2x \hfill \cr} \right.\)
Giải
a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} - 2(5 - S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} - 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)
ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:
S2 – 4P = 36 – 44 = -8 < 0
Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)
b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2 \hfill \cr
- x'y - x' - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Đặt S = x’ + y; P = x’y, ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S - 2(1 - S) = 2 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S - 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x' = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x' = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)
+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 – 4P < 0
c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x
⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0
⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0
⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0
Vậy hệ đã cho tương ứng với:
\(\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x - y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\((I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x - y = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x(x - 5) = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\)
\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2(1 - x) \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - x - 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)\)



Bài 47 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm:
\(\left\{ \matrix{
x + y = S \hfill \cr
xy = P \hfill \cr} \right.\)
(S và P là hai số cho trước)
Giải
\(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2– SX + P = 0 \;\;(1)\)
(1) có nghiệm \(⇔ Δ = S^2– 4P ≥ 0\)



Bài 48 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} = 208 \hfill \cr
xy = 96 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 55 \hfill \cr
xy = 24 \hfill \cr} \right.\)
Giải
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\)
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P = 208 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} = 400 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 20 \hfill \cr
P = 96 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} - 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 8 \hfill \cr
X = 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((8, 12)\) và \((12, 8)\)
+ Với \(S = -20, P = 96\) thì x, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} + 20X + 96 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = - 8 \hfill \cr
X = - 12 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((-8, -12)\) và \((-12, -8)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm : \((8, 12); (12, 8); (-8, -12); (-12, -8)\)
b) Thay \(y = {{24} \over x}\) vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có :
\({x^2} - {{576} \over {{x^2}}} = 55 \Leftrightarrow {x^4} - 55{x^2} - 576 = 0\)
Đặt \(t = x^2\;(t ≥ 0)\), ta có phương trình:
\({t^2} - 55t - 576 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 64 \hfill \cr
t = - 9\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 64 ⇔x^2= 64 ⇔ x = ± 8\)
Nếu \(x = 8 ⇒ y = 3\)
Nếu \(x = -8 ⇒ y = -3\)
Vậy hệ có hai nghiệm \((8;3)\) và \((-8;-3)\)



Bài 49 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Giải
Giả sử:
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
f(0) = -4 ⇒ c = -4
f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)
Ta có: (x1 – x2 )2 = 25 ⇔ S2 – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a = - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y = - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.