Bài 32 trang 126 SGK Đại số 10 nâng cao. Lập bảng xét dấu của các biểu thức a) \({{4 - 3x} \over {2x + 1}}\) b) \(1 - {{2 - x} \over {3x - 2}}\) c) \(x{(x - 2)^2}(3 - x)\) d) \({{x{{(x - 3)}^2}} \over {(x - 5)(1 - x)}}\) Giải a) Ta có bảng xét dấu: b) Ta có: \(1 - {{2 - x} \over {3x - 2}} = {{4x - 4} \over {3x - 2}}\) Ta có bảng xét dấu: c) Ta có bảng xét dấu sau: d) Ta có bảng xét dấu sau: Bài 33 trang 126 SGK Đại số 10 nâng cao. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu: a) \(–x^2+ x + 6\) b) \(2{x^2} - (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 \) Giải a) Phương trình \(–x^2+ x + 6 = 0\) có hai nghiệm : x1 = -2 và x2 = 3 Nên \(–x^2 + x + 6= -(x + 2)(x – 3) = (-x-2)(x-3)\) Ta có bảng xét dấu: b) Phương trình \(2{x^2} - (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 \) = 0 có hai nghiệm là x1 = 1 và \({x_2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) Do đó: \(2{x^2} - (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3 = 2(x - 1)(x - {{\sqrt 3 } \over 2}) \) \(= (x - 1)(2x - \sqrt 3 )\) Ta có bảng xét dấu sau: Bài 34 trang 126 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình a) \({{(3 - x)(x - 2)} \over {x + 1}} \le 0\) b) \({3 \over {1 - x}} \ge {5 \over {2x + 1}}\) c) \(|2x - \sqrt 2 |\, + \,|\sqrt 2 - x|\, > \,3x - 2\) d) \(|(\sqrt 2 - \sqrt 3 )x + 1|\, \le \,\sqrt 3 + \sqrt 2 \) Đáp án a) Ta có bảng xét dấu: Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({{(3 - x)(x - 2)} \over {x + 1}} \le 0\) là: \(S = (-1, 2] ∪ [3, +∞)\) b) Ta có: \({3 \over {1 - x}} \ge {5 \over {2x + 1}} \Leftrightarrow {{3(2x + 1) - 5(1 - x)} \over {(1 - x)(2x + 1)}} \ge 0 \Leftrightarrow {{11x - 2} \over {(1 - x)(2x + 1)}} \ge 0\) Bảng xét dấu: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = ( - \infty ; - {1 \over 2}) \cup {\rm{[}}{2 \over {11}},1)\) c) Ta có bảng xét dấu: i) Với \(x < {{\sqrt 2 } \over 2}\) , ta có: \(\eqalign{ & (1) \Leftrightarrow - 2x + \sqrt 2 + \sqrt 2 - x > 3x - 2 \cr&\Leftrightarrow 6x < 2\sqrt 2 + 2 \cr & \Leftrightarrow x < {{\sqrt 2 + 1} \over 3} \cr} \) Vì \({{\sqrt 2 } \over 2} < {{\sqrt 2 + 1} \over 3} \Rightarrow x < {{\sqrt 2 } \over 2}\) ii) Với \({{\sqrt 2 } \over 2} \le x < \sqrt2\) , ta có: \((1) \Leftrightarrow 2x - \sqrt 2 + \sqrt 2 - x > 3x - 2 \Leftrightarrow x < 1\) Kết hợp điều kiện ta có: \({{\sqrt 2 } \over 2} \le x < 1\) iii) Với \(x \ge \sqrt 2 \) \((1) \Leftrightarrow 2x - \sqrt 2 - \sqrt 2 + x > 3x - 2\) \(\Leftrightarrow - 2\sqrt 2 > - 2\) (vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = ( - \infty ,{{\sqrt 2 } \over 2}) \cup {\rm{[}}{{\sqrt 2 } \over 2},1) = ( - \infty ,1)\) d) Áp dụng: \(|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B\) Ta có: \(\eqalign{ & |(\sqrt 2 - \sqrt 3 )x + 1|\, \le \,\sqrt 3 + \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 3 - \sqrt 2 \le (\sqrt 2 - \sqrt 3 )x + 1 \le \sqrt 3 + \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 3 - \sqrt 2 - 1 \le (\sqrt 2 - \sqrt 3 )x \le \sqrt 3 + \sqrt 2 - 1 \cr & \Leftrightarrow {{ - \sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} \ge x \ge {{\sqrt 3 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} \cr & \Leftrightarrow (\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1)(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) \ge x \ge \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1 - \sqrt 3 - \sqrt 2 )(\sqrt 3 + \sqrt 2 ) \cr & \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 \ge x \ge \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- 5 - 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}} - 5 - 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 ;\,5 + 2\sqrt 6 + \sqrt 3 + \sqrt 2 )\) Bài 35 trang 126 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ (x - 3)(\sqrt 2 - x) > 0 \hfill \cr {{4x - 3} \over 2} < x + 3 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {2 \over {2x - 1}} \le {1 \over {3 - x}} \hfill \cr |x| < 1 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta có bảng xét dấu: Ta có: \(\eqalign{ & (x - 3)(\sqrt 2 - x) > 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 < x < 3\,\,(1) \cr & {{4x - 3} \over 2} < x + 3 \Leftrightarrow 2x < 9 \Leftrightarrow x < {9 \over 2}\,\,\,(2) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có: \(\sqrt 2 < x < 3\) Vậy \(S = (\sqrt 2 ,3)\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {2 \over {2x - 1}} \le {1 \over {3 - x}} \Leftrightarrow {2 \over {2x - 1}} - {1 \over {3 - x}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{6 - 2x - 2x + 1} \over {(2x - 1)(3 - x)}} \le 0 \Leftrightarrow {{ - 4x + 7} \over {(2x - 1)(3 - x)}} \le 0 \cr} \) Bảng xét dấu: Ta có: \({{ - 4x + 7} \over {(2x - 1)(3 - x)}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < {1 \over 2} \hfill \cr {7 \over 4} \le x < 3 \hfill \cr} \right.\) Hệ đã cho tương đương với: \(\left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < {1 \over 2} \hfill \cr {7 \over 4} \le x < 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 1 < x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < {1 \over 2}\) Vậy \(S = ( - 1;{1 \over 2})\) Bài 36 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các bất phương trình: a) mx+4 > 2x+m2 b) 2mx+1 ≥ x+4m2 c) x(m2-1) < m4-1 d) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x-1) Đáp án a) Ta có: mx + 4 > 2x + m2 ⇔ (m – 2)x > m2 – 4 + Nếu m > 2 thì \(S = (m + 2, +∞)\) + Nếu m < 2 thì \(S = (-∞; m + 2)\) + Nếu m = 2 thì \(S = Ø\) b) Ta có: \(2mx+1 ≥ x+4m^2⇔ (2m – 1)x ≥ 4m^2– 1\) + Nếu \(m > {1 \over 2}\) thì \(S = [2m +1; +∞)\) + Nếu \(m < {1 \over 2}\) thì \(S = (-∞; 2m + 1]\) + Nếu \(m = {1 \over 2}\) thì \(S =\mathbb R\) c) x(m2-1) < m4-1 + Nếu m2 – 1 > 0 ⇔ m < -1 hoặc m > 1 thì \(S = (-∞, m^2+ 1)\) + Nếu m2 – 1 < 0 ⇔ -1 < m < 1 thì \(S = (m^2+1, +∞)\) + Nếu \(m = ±1\) thì \(S = Ø\) d) \(2\left( {m + 1} \right)x{\rm{ }} \le {\rm{ }}{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right){\rm{ }} \) \(\Leftrightarrow {\rm{ }}({m^2}-{\rm{ }}1)x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}{\left( {m{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) + Nếu m2 – 1 > 0 ⇔ m < -1 hoặc m > 1 thì \(S = {\rm{[}}{{m + 1} \over {m - 1}}; + \infty )\) + Nếu m2 -1 < 0 ⇔ -1 < m < 1 thì \(S = ( - \infty ;{{m + 1} \over {m - 1}}{\rm{]}}\) + Nếu \(m = -1\) thì \(S =\mathbb R\) + Nếu \(m = 1\) thì \(0x ≥ 4; S = Ø\) Bài 37 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau: a) \(( - \sqrt 3 x + 2)(x + 1)(4x - 5) > 0\) b) \({{3 - 2x} \over {(3x - 1)(x - 4)}} < 0\) c) \({{ - 3x + 1} \over {2x + 1}} \le - 2\) d) \({{x + 2} \over {3x + 1}} \le {{x - 2} \over {2x - 1}}\) Đáp án a) Ta có bảng xét dấu: Vậy \(S = ( - \infty , - 1) \cup ({2 \over {\sqrt 3 }};{5 \over 4})\) b) Ta có bảng xét dấu: Vậy \(S = ({1 \over 3};{3 \over 2}) \cup (4, + \infty )\) c) Ta có: \(\eqalign{ & {{ - 3x + 1} \over {2x + 1}} \le - 2 \Leftrightarrow {{ - 3x + 1 + 2(2x + 1)} \over {2x + 1}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{x + 3} \over {2x + 1}} \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le x < - {1 \over 2} \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[ - 3,}}-{1 \over 2})\) d) Ta có: \(\eqalign{ & {{x + 2} \over {3x + 1}} \le {{x - 2} \over {2x - 1}} \cr&\Leftrightarrow {{(x + 2)(2x - 1) - (x - 2)(3x + 1)} \over {(3x + 1)(2x - 1)}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} + 8x} \over {(3x + 1)(2x - 1)}} \le 0\cr& \Leftrightarrow {{x(x - 8)} \over {(3x + 1)(2x - 1)}} \ge 0 \cr} \) Lập bảng xét dấu vế trái Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:\(S = ( - \infty ; - {1 \over 3}) \cup {\rm{[}}0,{1 \over 2}) \cup {\rm{[}}8, + \infty )\) Bài 38 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các bất phương trình a) \((2x - \sqrt 2 )(x - m) > 0\) b) \({{\sqrt 3 - x} \over {x - 2m + 1}} \le 0\) Giải Ta có: \(\eqalign{ & (2x - \sqrt 2 ) = 0 \Leftrightarrow x = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & x - m = 0 \Leftrightarrow x = m \cr} \) i) Với \(x < {{\sqrt 2 } \over 2}\) , ta có bảng xét dấu: Vậy \(S = ( - \infty ;m) \cup ({{\sqrt 2 } \over 2}, + \infty )\) ii) Với \(m = {{\sqrt 2 } \over 2}\) thì bất phương trình trở thành: \(\eqalign{ & (2x - \sqrt 2 )(x - {{\sqrt 2 } \over 2}) > 0 \Leftrightarrow {(2x - \sqrt 2 )^2} > 0 \cr & \Leftrightarrow x \ne {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & S = R\backslash {\rm{\{ }}{{\sqrt 2 } \over 2}{\rm{\} }} \cr} \) iii) Với \(m > {{\sqrt 2 } \over 2}\) , ta có bảng xét dấu: \(S = ( - \infty ;{{\sqrt 2 } \over 2}) \cup (m; + \infty )\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt 3 - x = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \cr & x - 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2m - 1 \cr} \) i) Nếu \(2m - 1 < \sqrt 3 \Leftrightarrow m < {{\sqrt 3 + 1} \over 2}\) , ta có bảng sau: \(S = \left( { - \infty ;2m - 1} \right) \cup \left[ {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) ii) Nếu \(2m - 1 = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = {{\sqrt 3 + 1} \over 2}\) thì dễ thấy tập nghiệm là: \(S = ( - \infty ,\sqrt 3 ) \cup (\sqrt 3 , + \infty )\) iii) Nếu \(2m - 1 > \sqrt 3 \Leftrightarrow m > {{\sqrt 3 + 1} \over 2}\) thì ta có bảng sau: Vậy tập nghiệm là \(S = ( - \infty ,\sqrt 3 ) \cup (2m - 1; + \infty )\) Bài 39 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau: a) \(\left\{ \matrix{ 6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr {{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 15 - 2 > 2x + {1 \over 3} \hfill \cr 2(x - 4) < {{3x - 14} \over 2} \hfill \cr} \right.\) Giải a) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 6x + {5 \over 7} > 4x + 7 \hfill \cr {{8x + 3} \over 2} < 2x + 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 42x + 5 < 28x + 49 \hfill \cr 8x + 3 < 4x + 50 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 14x > 44 \hfill \cr 4x < 47 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {{44} \over {14}} < x < {{47} \over 4}\) Vì x ∈ Z nên x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Vậy tập nghiệm của hệ là : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 15 - 2 >2x + {1 \over 3} \hfill \cr 2(x - 4) < {{3x - 14} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 45x - 6 > 6x + 1 \hfill \cr 4x - 16 < 3x - 14 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 39x > 7 \hfill \cr x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {7 \over {39}} < x < 2\) Vì x ∈ Z nên x = 1 Vậy tập nghiệm của hệ là {1} Bài 40 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải bất phương trình và bất phương trình a) |x + 1| + |x – 1| = 4 b) \({{|2x - 1|} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\) Giải a) Ta có bảng xét dấu: i) Với \(x < -1\), ta có (1) \(⇔ - x – 1 – x + 1 = 4 ⇔ x = -2\) (nhận) ii) Với \(-1 ≤ x ≤ 1\), ta có: (1) \(⇔ x + 1 – x + 1 = 4 ⇔ 2 = 4\) (vô nghiệm) iii) Với \(x > 1\), ta có (1) \(⇔ x + 1 + x – 1 = 4 ⇔ x = 2\) (nhận) Vậy S = {-2, 2} b) Ta có: i) Nếu \(x \le {1 \over 2}\) thì bất phương trình trở thành: \({{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\) Ta có: \(\eqalign{ & {{ - 2x + 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {{2( - 2x + 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 3x + 4} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \Leftrightarrow {{(x - 1)(x + 4)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr} \) Lập bảng xét dấu: Trường hợp này ta có: \(-4 < x < -1\) ii) Nếu \(x > {1 \over 2}\) thì bất phương trình đã cho trở thành: \({{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2}\) Ta có: \(\eqalign{ & {{2x - 1} \over {(x + 1)(x - 2)}} > {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow {{2(2x - 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{x(x - 5)} \over {2(x + 1)(x - 2)}} < 0 \cr} \) Lập bảng xét dấu trên nửa khoảng \(({1 \over 2}, + \infty )\) Trong trường hợp này ta có: \(2 < x < 5\) Vậy \(S = (-4, -1) ∪ (2, 5)\) Bài 41 trang 127 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải và biện luận các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ (x - \sqrt 5 )(\sqrt 7 - 2x) > 0 \hfill \cr x - m \le 0 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \hfill \cr x - m \ge 0 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta có bảng xét dấu: Vậy \((x - \sqrt 5 )(\sqrt 7 - 2x) > 0 \Leftrightarrow {{\sqrt 7 } \over 2} < x < \sqrt 5 \) Ta có: \({S_1} = ({{\sqrt 7 } \over 2};\sqrt 5 )\) Bất phương trình thứ hai có nghiệm \(x ≤ m\). Ta có: \({S_2} = (-∞; m]\), Do đó: + Nếu \(m \le {{\sqrt 7 } \over 2}\) thì tập nghiệm là S = S1 ∩ S2 = Ø + Nếu \({{\sqrt 7 } \over 2} \le m < \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2},m)\) + Nếu \(m \ge \sqrt 5 \) thì tập nghiệm là \(S = {S_1} \cap {S_2} = ({{\sqrt 7 } \over 2}\sqrt 5 )\) b) Ta có: \({2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow {{2(2x - 1) - 5(x - 1)} \over {(x - 1)(2x - 1)}} < 0 \Leftrightarrow {{x - 3} \over {(x - 1)(2x - 1)}} > 0\) Bằng cách lập bảng xét dấu vế trái, ta có: \({2 \over {x - 1}} < {5 \over {2x - 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {1 \over 2} < x < 1 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right.\) Ta có: \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\) Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là: S2 = [m, +∞ ) Do đó: + Nếu \(m \le {1 \over 2}\) thì tập nghiệm là \({S_1} = ({1 \over 2};1) \cup (3, + \infty )\) + Nếu \({1 \over 2} < m < 1\) thì tập nghiệm là \(S = {\rm{[m, 1)}} \cup {\rm{(3, + }}\infty {\rm{)}}\) + Nếu \(1≤ m ≤ 3\) thì tập nghiệm là \(S = (3, +∞ )\) + Nếu \(m > 3\) thì tập nghiệm là \(S = [m; +∞ )\)
