Bài 49 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) 3x2 - 2x + 1 b) -x2 + 4x – 1 c) \({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\) d) \((1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 \) Giải a) Ta có: a = 3 > 0 Δ’ = 1 – 3 = -2 < 0 ⇒ 3x2 – 2x + 1 > 0 ∀x ∈ R b) Ta có: a = -1 < 0 Δ’ = 4 – 1 = 3 > 0 Tam thức -x2 + 4x – 1 có hai nghiệm phân biệt \(x = 2 \pm \sqrt 3 \) c) Ta có: a = 1 > 0 Δ = 3 – 3 = 0 \({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\) có nghiệm kép \(x = {{\sqrt 3 } \over 2}\) \( \Rightarrow {x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4} > 0;\,\forall x \ne {{\sqrt 3 } \over 2}\) d) Ta có: \(\eqalign{ & a = 1 - \sqrt 2 < 0 \cr & (1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 3 - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng xét dấu: Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương: a) (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 b) (m+2)x2 + 2(m+2)x + m + 3 Giải a) Vì m2 + 2 > 0 nên (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + 2) < 0 ⇔ 2m – 1< 0 \( \Leftrightarrow m < {1 \over 2}\) Vậy với \(m < {1 \over 2}\) thì (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R b) Với \(m = -2\) thì ta có: \(f(x) = 1 >0, ∀x ∈\mathbb R\) Với \(m ≠ -2\) ta có: \(f(x) > 0, ∀x ∈ R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a > 0 \hfill \cr \Delta ' < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m + 2 > 0 \hfill \cr {(m + 2)^2} - (m + 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > - 2 \hfill \cr - m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > - 2\) Vậy \(f(x) > 0, ∀x ∈\mathbb R ⇔ m ≥ -2\) Bài 51 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm. a) \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\) b) \(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\) Giải a) Vì \(a = -1 < 0\) nên: \(\eqalign{ & - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0\,\forall x \in R \cr & \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - (2{m^2} + 1) < 0 \cr & \Leftrightarrow - 1 < 0 \cr} \) Ta thấy điều suy ra luôn đúng Vậy với mọi m thì \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0; ∀x ∈\mathbb R \) b) Đặt \(f(x) = \left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\) + Với \(m = 2\) thì \(f(x) = 2x + 1\) không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán + Với \(m ≠ 2\) thì: \(f(x) < 0, ∀x ∈\mathbb R \) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a < 0 \hfill \cr \Delta ' < 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m - 2 < 0 \hfill \cr {(m - 3)^2} - (m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m < 2 \hfill \cr - 3m + 7 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m < 2 \hfill \cr m > {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \) Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên Do đó, không có giá trị nào của m để \(f(x) < 0; ∀x ∈\mathbb R\) Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2. Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết: \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\) Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\) Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết: f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2) trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x) Đáp án Ta có: \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\) + Nếu Δ < 0 thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R + Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne - {b \over {2a}}\) + Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và: f(x) = a(x – x1)(x – x2) Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2) Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2). Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2) Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2) Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2
