Bài 53 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình a) -5x2 + 4x + 12 < 0 b) 16x2 + 40x +25 < 0 c) 3x2 - 4x + 4 ≥ 0 d) x2 - x - 6 ≤ 0 Đáp án a) Ta có: \( - 5{x^2} + 4x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {6 \over 5} \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: Tập nghiệm của bất phương trình \(S = ( - \infty , - {6 \over 5}) \cup (2, + \infty )\) b) Ta có: \(16{x^2} + 40x + 25 = 0 \Leftrightarrow x = - {5 \over 4}\) (nghiệm kép) \(\eqalign{ & a = 16 > 0 \cr & \Delta ' = 200 - 16.25 = 0 \cr & \Rightarrow 16{x^2} + 40x + 25 \ge 0\,\,\forall x \in R \cr} \) Vậy S = Ø c) Ta có: a = 3 Δ’ = 4 – 12 = -8 < 0 ⇒ 3x2 - 4x + 4 ≥ 0 ∀x ∈ R Vậy S = R d) Ta có: \({x^2} - x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\) Bảng xét dấu: Tập nghiệm S = [-2, 3] Bài 54 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau: a) \({{{x^2} - 9x + 14} \over {{x^2} - 5x + 4}} > 0\) b) \({{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\) c) (2x + 1)(x2 + x – 30) ≥ 0 d) x4 – 3x2 ≤ 0 Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} - 9x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = 7 \hfill \cr} \right. \cr & {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng xét dấu: Vậy \(S = (-∞, 1) ∪ (2, 4) ∪ (7, +∞)\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le - 1\cr& \Leftrightarrow {{ - 2{x^2} + 7x + 7} \over {{x^2} - 3x - 10}} + 1 \le 0 \Leftrightarrow {{ - {x^2} + 4x - 3} \over {{x^2} - 3x - 10}} \le 0 \cr} \) Ta lại có: \(\eqalign{ & - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right. \cr & {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Bảng xét dấu: Vậy \(S = (-∞, -2) ∪ [1, 3] ∪ (5, +∞)\) c) Bảng xét dấu: Vậy \(S = {\rm{[}} - 6,\, - {1 \over 2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}5,\, + \infty )\) d) Ta có: \(\eqalign{ & {x^4} - 3{x^2} \le 0 \Leftrightarrow {x^2}({x^2} - 3) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}} - \sqrt 3 ,\,\sqrt 3 {\rm{]}}\) Bài 55 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm. a) (m-5)x2 - 4mx + m – 2 = 0 b) (m+1)x2 + 2(m-1)x + 2m – 3 = 0 Đáp án a) + Với m = 5 thì (1) trở thành \( - 20x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over {20}}\) + Với m ≠ 5 thì (1) có nghiệm \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \Delta ' = 4{m^2} - (m - 5)(m - 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow 3{m^2} + 7m - 10 \ge 0 \cr} \) Xét dấu Δ’ Ta có: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 1 \hfill \cr m = - {{10} \over 3} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le - {{10} \over 3} \hfill \cr m \ge 1 \hfill \cr} \right.\) b) + Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: \( - 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {5 \over 4}\) + Với m ≠ -1 thì phương trình (2) có nghiệm \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} - (m + 1)(2m - 3) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow - {m^2} - m + 4 \ge 0 \cr} \) Xét dấu Δ’ (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{ - 1 - \sqrt {17} } \over 2} \le m \le {{ - 1 + \sqrt {17} } \over 2}$$\) Bài 56 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 < 0 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 4{x^2} - 5x - 6 \le 0 \hfill \cr - 4{x^2} + 12x - 5 < 0 \hfill \cr} \right.\) c) \(\left\{ \matrix{ - 2{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr - {x^2} - 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\) d) \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + x - 6 > 0 \hfill \cr 3{x^2} - 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & 2{x^2} + 9x + 7 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - {7 \over 2} \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & {x^2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2 \cr} \) Do đó: \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + 9x + 7 > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < - {7 \over 2} \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 3 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 2\) Vậy tập nghiêm của hệ là \(S = (-1, 2)\) b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 4{x^2} - 5x - 6 \le 0 \hfill \cr - 4{x^2} + 12x - 5 < 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - {3 \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < {1 \over 2} \hfill \cr x > {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {3 \over 4} \le x < {1 \over 2}\) Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = {\rm{[}} - {3 \over 4};{1 \over 2}{\rm{]}}\) c) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ - 2{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr - {x^2} - 3x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{x^2} + 5x - 4 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 3x - 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr & \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le {{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr x \ge {{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 5 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 5 \le x \le {{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4} \hfill \cr {{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4} \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = {\rm{[}} - 5,{{ - 5 - \sqrt {57} } \over 4}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}{{ - 5 + \sqrt {57} } \over 4};2{\rm{]}}\) d) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + x - 6 > 0 \hfill \cr 3{x^2} - 10x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < - 2 \hfill \cr x > {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left[ \matrix{ x < {1 \over 3} \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 2 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = ( - \infty , - 2) \cup (3, + \infty )\) Bài 57 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm: x2 + (m - 2)x - 2m + 3 = 0 Đáp án Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: Δ = (m – 2)2 – 4(-2m + 3) ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 8 ≥ 0 Xét dấu Δ: Ta thấy: \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le - 2 - 2\sqrt 3 \hfill \cr m \ge - 2 + 2\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\) Bài 58 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào. a) x2 - 2(m + 1)x + 2m2 + m + 3 = 0 b) (m2 + 1)x2 + 2(m + 2)x + 6 = 0 Đáp án a) Ta có: Δ’ = (m + 1)2 – (2m2 + m + 3) = -m2 + m – 2 < 0 ∀m (do a = -1 < 0 và Δm = -7 < 0) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m. b) Ta có: Δ’ = (m + 2)2 – 6(m2 + 1) = -5m2 + 4m – 2 < 0 ∀m (vì a = -5 < 0 và Δ’m = -6 < 0) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m. Bài 59 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm m để bất phương trình sau: (m – 1)2 – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R Đáp án + Với m = 1, ta có: -4x – 3 > 0 Không nghiệm đúng với mọi x ∈ R + Với m ≠ 1, ta có: \(\eqalign{ & {(m - 1)x^2} - 2(m + 1)x + 3(m - 2) > 0\,\,\forall x \in R \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m - 1 > 0 \hfill \cr \Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > 1 \hfill \cr - 2{m^2} + 11m - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ m < {1 \over 2} \hfill \cr m > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 5 \cr} \) Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R Bài 60 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các bất phương trình sau: a) \({{{x^4} - {x^2}} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0\) b) \({1 \over {{x^2} - 5x + 4}} < {1 \over {{x^2} - 7x + 10}}\) Đáp án a) Ta có: \({{{x^4} - {x^2}} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0 \Leftrightarrow {{{x^2}({x^2} - 1)} \over {{x^2} + 5x + 6}} \le 0\) Bảng xét dấu: Vậy \(S = (-3, -2) ∪ [-1, 1]\) b) Ta có: \(\eqalign{ & {1 \over {{x^2} - 5x + 4}} < {1 \over {{x^2} - 7x + 10}} \cr&\Leftrightarrow {1 \over {{x^2} - 5x + 4}} - {1 \over {{x^2} - 7x + 10}} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - 2x + 6} \over {({x^2} - 5x + 4)({x^2} - 7x + 10)}} < 0 \cr} \) Xét dấu vế trái: Vậy \(S = (1, 2) ∪ (3, 4) ∪ (5, +∞)\) Bài 61 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) \(y = \sqrt {(2x + 5)(1 - 2x)} \) b) \(y = \sqrt {{{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}}} \) Đáp án a) Hàm số đã cho xác định \(⇔ (2x + 5)(1 – 2x) ≥ 0\) \( \Leftrightarrow - {5 \over 2} \le x \le {1 \over 2}\) Vậy tập xác định \(D = {\rm{[}} - {5 \over 2},{1 \over 2}{\rm{]}}\) b) Hàm số đã cho xác định: \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow {{(x + 1)(x + 4)} \over {(x + 1)(2x + 1)}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr {{x + 4} \over {2x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 4 \hfill \cr x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le - 4 \hfill \cr x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy tập xác định của hàm số là: \(S = ( - \infty , - 4{\rm{]}} \cup ( - {1 \over 2}, + \infty )\) Bài 62 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ 4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr {x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ 2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right.\) c) \(\left\{ \matrix{ {x^2} - 9 < 0 \hfill \cr (x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta có: \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr {x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < 7 \hfill \cr 2 \le x \le 5 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow 2 \le x \le 5\) Vậy \(S = [2, 5]\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < {{ - 9 - \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr x > {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 3 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} < x < 2 \cr} \) Vậy \(S = ({{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4};2{\rm{]}}\) c) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} - 9 < 0 \hfill \cr (x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 3 < x < 3 \hfill \cr \left[ \matrix{ - {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr 1 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy \(S = \,{\rm{[}} - {4 \over 3},\, - 1{\rm{]}}\, \cup {\rm{[}}1,\,3)\) Bài 63 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có: \( - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\) Đáp án Vì 2x2 – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R (do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0) Nên: \(\eqalign{ & - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a < \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;7(2{x^2} - 3x + 2) \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 \hfill \cr 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \) Hệ (1) tương đương với mọi x: \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \Delta {'_1} = 1 - 3(a + 2) \le 0 \hfill \cr \Delta {'_2} = 169 - 13(14 - a) < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a \ge - 5 \hfill \cr 13a < 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {5 \over 3} \le a < 1\) Bài 64 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao. Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \matrix{ {x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr (m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\) Đáp án Ta có: x2 + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3 Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3 (*) + Nếu m = -1 thì S = Ø + Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\) Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {3 \over {m + 1}} < 3 \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > 0 \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0\) + Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\) Hệ có nghiệm: \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {3 \over {m + 1}} > - 5 \hfill \cr m + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3 < - 5m - 5 \hfill \cr m < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {8 \over 5}\) Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(\left[ \matrix{ m < - {8 \over 5} \hfill \cr m > 0 \hfill \cr} \right.\)
