Bài 1 trang 220 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho các tập con của tập số thực R: A = [-1; 1], B = [a;b) và \(C = (-∞;c)\) Trong đó a, b (a < b) và c là các số thực: a) Tìm điều kiện của a và b để A ⊂ B; b) Tìm điều kiện của c để \(A ∩ C = ∅\) c) Tìm phần bù của B trong R. d) Tìm điều kiện của a và b để \(A ∩ B ≠ ∅\) Đáp án a) \(A ⊂ B ⇔ a ≤ -1 < 1 < b\) b) \(A ∩ C = ∅ ⇔ c < -1\) c) \(C^B_R= (-∞; a) ∪ [b, +∞)\) d) \(A ∩ B ≠ ∅ ⇔ a ≤ 1, b > -1\) và \(a < b\) Bài 2 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm số sau: a) \({f_1}(x) = \sqrt {{x \over {x - 2}}} \) b) \({f_2}(x) = {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - 7x + 12} }}\) c) \({f_3}(x) = {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over {4{x^2} - 9}}\) d) \({f_4}(x) = \sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} \) Đáp án a) f1(x) xác định \( \Leftrightarrow {x \over {x - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr x > 2 \hfill \cr} \right.\) \(D = (-∞; 0] ∪ (2, +∞)\), hàm số không chẵn hoặc không lẻ b) f2(x) xác định \( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < 3 \hfill \cr x > 4 \hfill \cr} \right.\) \(D = (-∞; 3) ∪ (4, +∞)\), hàm số không chẵn hoặc không lẻ c) f3(x) xác định : \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 1 \ge 0 \hfill \cr 4{x^2} - 9 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le - 1 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ne \pm {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \(D = (-∞; -1] ∪ [1, +∞)\)\(\backslash {\rm{\{ }} \pm {3 \over 2}{\rm{\} }}\) hàm số chẵn d) \(D = [-1, 1]\), hàm số lẻ Bài 3 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho hai đường thẳng (d1): \(y = mx - 3\) và (d2): \(x + y = m\) a) Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)? b) Với giá trị nào của m thì (d1 ) vuông góc (d2)? c) Tìm m để (d1 ) và (d2 ) cắt nhau. Đáp án Ta có: (d2): \(y = -x + m\) a) (d1) // (d2) \(⇔ m = -1\) b) (d1 ) vuông góc (d2) \(⇔ m(-1) = -1 ⇔ m = 1\) c) (d1 ) và (d2 ) cắt nhau \(⇔ m ≠ -1\) Bài 4 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. Ký hiệu (Ho) là đồ thị hàm số : \(y = {2 \over x}\) a) Tại sao (Ho) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O? b) Xác định phép tịnh tiến biến (Ho) thành đồ thì (H1) của hàm số \(y = - {2 \over {x - 3}}\) . Tìm tọa độ tâm đối xứng của (H1). c) Xác định phép tịnh tiến biến (Ho) thành đồ thị (H2) của hàm số \(y = {{2 - 2x} \over x}\) . Tìm tọa độ tâm đối xứng của (H2). Đáp án a) Vì hàm số \(y = {2 \over x}\) là hàm số lẻ b) Tịnh tiến (H0) sang phải 3 đơn vị. Tâm đối xứng của (H1) là (3, 0) c) Tịnh tiến (H0) xuống dưới 2 đơn vị. Tâm đối xứng của (H2) là (0, -2) Bài 5 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (p) của : y = x2 + x - 6 b) Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y = 2x + m c) Khi (d) và (P) cắt nhau, gọi A và B là giao điểm, hãy tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB. Đáp án a) Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số: b) Số giao điểm của parabol (P) với đường thẳng (d) đúng bằng số nghiệm của phương trình: x2 + x- 6 = 2x + m hay x2 – x – 6 – m = 0 (1) Phương trình (1) có biệt thức: Δ = 1 + 4(6 + m) = 4m + 25 Do đó: + Nếu \(m < - {{25} \over 4} \Rightarrow \Delta < 0\) thì phương trình (1) vô nghiệm Do đó, (P) và (d) không có điểm chung + Nếu \(m = - {{25} \over 4} \Rightarrow \Delta =0\) thì phương trình (1) có 1 nghiệm kép duy nhất Do đó, (P) và (d) có 1 điểm chung + Nếu \(m > - {{25} \over 4} \Rightarrow \Delta > 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Giả sử (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Khi đó hoành độ của A và B chính là hai nghiệm của phương trình (1), gọi chúng là x1 và x2. Hơn nữa, A và B là hai điểm của đường thẳng (d) nên tọa độ của chúng là: \(A({x_1};\,2{x_1} + m)\,;\,\,\,B({x_2};\,2{x_2} + m)\,\,\,(m > - {{25} \over 4})\) Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là: \(I({{{x_1} + {x_2}} \over 2};\,{x_1} + {x_2} + m)\) Theo định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 1 Tọa độ điểm I là \(({1 \over 2};\,1 + m)\,\,\,\,(m > - {{25} \over 4})\) Bài 6 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho phương trình : 2x2 + (k - 9)x + k2 + 3k + 4 =0 (1) a) Tính k biết rằng (1) có 2 nghiệm trùng nhau b) Tính nghiệm gần đúng của (1) với \(k = - \sqrt 7 \) (chính xác đến hàng phần nghìn) Đáp án a) Phương trình (1) có nghiệm trùng nhau \( \Leftrightarrow \Delta = - 7({k^2} + 6k - 7) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 1 \hfill \cr k = - 7 \hfill \cr} \right.\) b) Khi \(k = - \sqrt 7 \) , \(\Delta =42\sqrt7\) phương trình đã cho có hai nghiệm là: \(\left[ \matrix{ {x_1} = {{9 + \sqrt 7 - \sqrt {42\sqrt 7 } } \over 4} \approx 0,276 \hfill \cr {x_2} = {{9 + \sqrt 7 + \sqrt {42\sqrt 7 } } \over 4} \approx 5,547 \hfill \cr} \right.\) Bài 7 trang 221 SGK Đại số 10 Nâng cao. Cho phương trình: \({x^2} + 2(\sqrt 3 + 1)x + 2\sqrt 3 = 0\) a) Không giải phương trình, tính gần đúng tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình (chính xác đến hàng phần trăm) b) Tính nghiệm gần đúng của phương trình (chính xác đến hàng phần trăm). Đáp án a) Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = - 2(\sqrt 3 + 1) \hfill \cr {x_1}{x_2} = 2\sqrt 3 \,\,\,(\Delta ' > 0) \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} \cr&= 4{(\sqrt 3 + 1)^2} - 4\sqrt 3 = 4(4 + \sqrt 3 ) \approx 22,93 \cr} \) b) \(x_1≈ -0, 73;x_2≈ -4, 73\) Bài 8 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Biện luận theo tham số m số nghiệm và dấu các nghiệm của phương trình a) x2 + 4(m + 3)x + 6(m2 – 5m + 6) = 0 b) (m – 1)x2 – (m – 3)x – m – 3 = 0 Đáp án a) Ta có: Δ’ = 4(m + 3)2 – 6(m2 – 5m + 6) = -2m2 + 54m S = 4(m + 3); P = 6(m2 – 5m + 6) Bảng trên dẫn đến kết luận sau: + Nếu m < 0 hoặc m > 27 thì Δ’ < 0 nên phương trịnh vô nghiệm. + Nếu m = 0 hoặc m = 27 thì \(\Delta ' = 0;\,\,{c \over a} > 0;\,\, - {b \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm dương (nghiệm kép) + Nếu 0 < m < 2 hoặc 3 < m < 27 thì \(\Delta ' > 0;\,\,{c \over a} > 0;\,\, - {b \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. + Nếu 2 < m < 3 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. + Nếu m = 2 hoặc m = 3 thì \({c \over a} = 0\,\,;{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương. b) Khi m = 1, ta có phương trình 2x – 4 = 0. Phương trình có một nghiệm dương. Khi m ≠ 1, ta có phương trình bậc hai. Số nghiệm và dấu của các nghiệm phụ thuộc vào dấu của các biểu thức sau: \(\eqalign{ & \Delta = {(m - 3)^2} + 4(m - 1)(m + 3) \cr&= 5{m^2} + 2m - 3 \cr & P = {c \over a} = {{ - m - 3} \over {m - 1}} \cr & S = - {b \over a} = {{m - 3} \over {m - 1}} \cr} \) Ta có bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu, ta suy ra: + Nếu \( - 1 < m < {3 \over 5}\) thì Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm + Nếu m < -3 hoặc m > 1 thì \({c \over a} < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. + Nếu -3 < m < -1 hoặc \({3 \over 5} < m < 1\) thì \(\Delta > 0;\,{c \over a} > 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. + Nếu m = -3 thì \(\,{c \over a} = 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm x = 0, nghiệm kia là nghiệm dương + Nếu m = -1 hoặc \(m = {3 \over 5}\) thì \(\Delta = 0;\,{c \over a} > 0;\,{{ - b} \over a} > 0\) nên phương trình có một nghiệm kép dương. Bài 9 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các phương trình a) \({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\) b) \(|(m + 1)x – 3 | = |x + 2|\) c) \((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\) Đáp án a) Điều kiên: \(x ≠ 1\) Ta có: \({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow mx - m - 3 = x + 1\) \(\Leftrightarrow (m - 1)x = m + 4\) + Nếu m ≠ 1 thì \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) . Nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) nhận được: \( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne - 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne 1-m \Leftrightarrow m \ne - {3 \over 2}\) + Nếu m = 1: phương trình vô nghiệm Vậy: Với m ≠ 1 và \(m \ne - {3 \over 2}:\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }}\) Với m = 1 hoặc \(m = - {3 \over 2}:\,\,\,\,S = \emptyset \) b) Ta có: \(|(m + 1)x – 3 | = |x + 2| \) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ (m + 1)x - 3 = x + 2 \hfill \cr (m + 1)x - 3 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx = 5 \hfill \cr (m + 2)x = 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(m = 0;\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over 2}{\rm{\} }}\) + Với m = -2; \(S = {\rm{\{ - }}{5 \over 2}{\rm{\} }}\) + Với m ≠ 0 và m ≠ -2 thì \(S = {\rm{\{ }}{5 \over m};\,\,{1 \over {m + 2}}{\rm{\} }}\) c) Điều kiện: x ≥ 1 \((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr mx + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\) + Với m = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Do đó: S = {1} + Với m ≠ 0 thì (1) có nghiệm là \(x = - {1 \over m}\) , nghiệm này nhận được: \( \Leftrightarrow - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0\) Vậy: với m < -1 hoặc m ≥ 0 thì S = {1} -1 ≤ m < 0 thì \(S = {\rm{\{ }}1, - {1 \over m}{\rm{\} }}\) Bài 10 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn các hệ thức : x1 + x2 + x1x2=0; m(x1 + x2 ) - x1x2 = 3m + 4 b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m. Đáp án a) Đặt S = x1 + x2 và P = x1x2 Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P) \(\left\{ \matrix{ S + P = 0 \hfill \cr mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S + P = 0 \hfill \cr S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\) + Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán. + Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm \((S, P) = ({{3m + 4} \over {m + 1}};\,{{ - 3m + 4} \over {m + 1}})\,\,\,\,(2)\) Vậy phương trình cần tìm là: \(\eqalign{ & {x^2} - Sx + P = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \) Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là: \(\eqalign{ & \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \cr&= (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le - {4 \over 3} \hfill \cr m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr} \) Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4). b) Ta có: \(S = - P = {{3m + 4} \over {m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < - {4 \over 3} \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right.\) Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra: + Nếu \(\left[ \matrix{ m < - {4 \over 3} \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right.\) thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu + Nếu \(m = - {4 \over 3}\) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0 + Nếu \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm. +Nếu \( - {4 \over 3} < m < - {8 \over 7}\) thì phương trình (3) vô nghiệm. Bài 11 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải và biện luận các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{ (m + 3)x + 2y = m \hfill \cr (3m + 1)x + (m + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ (2m + 3)x + 5y = m - 11 \hfill \cr (m + 2)x + 2y = m - 2 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta có: + Nếu m ≠ 1 thì hệ có nghiệm (x, y) với: \(\eqalign{ & x = {{{D_x}} \over D} = {{(m - 1)(m + 2)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{m + 2} \over {m - 1}} \cr & y = {{{D_y}} \over D} = {{ - 3({m^2} - 1)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{ - 3(m + 1)} \over {m - 1}} \cr} \) + Nếu m = 1 thì hệ thành \(\left\{ \matrix{ 4x + 2y = 1 \hfill \cr 4x + 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - 2x + {1 \over 2}\) Hệ có vô số nghiệm \((x,\, - 2x + {1 \over 2})\) với x ∈ R b) Ta có: +Với \(m ≠ -4\) thì hệ có nghiệm (x, y) với: \(\eqalign{ & x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 3(m + 4)} \over { - (m + 4)}} = 3 \cr & y = {{{D_y}} \over D} = {{{{(m + 4)}^2}} \over { - (m + 4)}} = - m - 4 \cr} \) + Với \(m = -4\), hệ có vô số nghiệm với \((x; x – 3), x ∈ \mathbb R\) Bài 12 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ phương trình a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr 2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\) c) \(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \(y = 1- 2x\) Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(\eqalign{ & {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr & \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \) + Với \(x = 1\) thì \(y = 1 – 2.1 = -1\) + Với \(x = - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}\) Vậy hệ có hai nghiệm: \((-1, 1)\) và \(( - {2 \over 5};\,{9 \over 5})\) b) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr S + P = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 5 - S \hfill \cr {S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 3 \hfill \cr P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = - 6 \hfill \cr P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) + Với S = 3, P = 2, hệ có nghiệm (2, 1) và (1, 2) + Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S2 – 4P < 0 c) Đặt \(S = x - y; P = xy\). Ta có: \(\left\{ \matrix{ {S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 1 - S \hfill \cr {S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = - 1 \hfill \cr P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = 4 \hfill \cr P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\) + Với \(S = -1, P = 0\) thì \(x, -y\) là nghiệm phương trình: \({X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 0 \hfill \cr X = - 1 \hfill \cr} \right.\) Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0) + Với \(S = 4, P = -5: x; -y\) là nghiệm phương trình: X2 – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm) Bài 13 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Chứng minh rằng: a) \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,(a \in R)\) b) \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a}\,\,\,(a,\,b,\,c\, \in R)\) Đáp án a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \({{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{({a^2} + 2) + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2} + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge \) \(2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}} = 4\) b) Ta có: \({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}} = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\) Tương tự ta có: \(\left\{ \matrix{ {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr {{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\) Từ đó suy ra: \(2({{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}) \ge 2({a \over c} + {c \over b} + {b \over a})\) Bài 14 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) \(f(x) = x + {2 \over {x + 2}}\) trên khoảng \((-2; +∞)\) b) \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over x}\) trên khoảng \((0; +∞)\) Đáp án a) Áp dụng bất đẳg thức Cô-si, ta có: \(f(x) = x + 2{2 \over {x + 2}} - 2 \ge 2\sqrt {(x + 2){2 \over {x + 2}}} - 2 \) \(= 2\sqrt 2 - 2\) Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi: \(x + 2 = {2 \over {x + 2}} \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = \sqrt 2 - 2 \hfill \cr x = - \sqrt 2 - 2 \hfill \cr} \right.\) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số, ta có: \(g(x) = 3{x^2} + {1 \over {2x}} + {1 \over {2x}} \ge 3\root 3 \of {3{x^2}.{1 \over {2x}}.{1 \over {2x}}} = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 3{x^2} = {1 \over {2x}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \) Vậy: \(\min \,g(x) = 3\root 3 \of {{3 \over 4}} \Leftrightarrow x = \root 3 \of {{1 \over 6}} \) Bài 15 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x) = (2 - x)(2x + 1)\) trên \((-0,5; 2)\) Đáp án Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: Dấu “=” xảy ra khi \( \Leftrightarrow 4 - 2x = 2x + 1 \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\) Vậy \(\max \,f(x) = {{25} \over 8} \Leftrightarrow x = {3 \over 4}\) Bài 16 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải các hệ bất phương trình a) \(\left\{ \matrix{ {x^2} - 4 > 0 \hfill \cr {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x} \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{ {x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr {x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right.\) Đáp án a) Ta giải từng bất phương trình trong hệ đã cho: \({x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 2 \hfill \cr x > 2 \hfill \cr} \right.\) Tập nghiệm là S1= \( (-∞; -2) ∪ (2, +∞)\) \(\eqalign{ & {1 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}} \ge {1 \over x}\cr& \Leftrightarrow {{x(x + 2) + x(x + 1) - (x + 1)(x - 2)} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} - 2} \over {x(x + 1)(x + 2)}} \ge 0 \cr} \) Lập bảng xét dấu: Vậy \({S_2} = ( - 2; - \sqrt 2 {\rm{]}}\, \cup \,( - 1,0)\, \cup \,{\rm{[}}\sqrt 2 , + \infty )\) Từ đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là: S = S1 ∩ S2 = \((2, +∞)\) b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {x^2} + 3x + 2 < 0 \hfill \cr {x \over {x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2 < x < - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow - 2 < x < 1\) Vậy \(S = (-2, -1)\) Bài 17 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải các phương trình a) \(\sqrt {2x + 8} = 3x + 4\) b) |x2 + 5x + 6| = 3x + 13 c) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 4) = 5 Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2x + 8} = 3x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 4 \ge 0 \hfill \cr 2x + 8 = {(3x + 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - {4 \over 3} \hfill \cr 9{x^2} + 22x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - {4 \over 3} \hfill \cr \left[ \matrix{ x = 2\;(\text{ loại}) \hfill \cr x = - {4 \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - {4 \over 9} \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }} - {4 \over 9}{\rm{\} }}\) b) Điều kiện: \(3x + 13 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - {{13} \over 3}\) Ta có: \(\eqalign{ & |{x^2} + 5x + 6| = 3x + 13 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} + 5x + 6 = 3x + 13 \hfill \cr {x^2} + 5x + 6 = - (3x + 13) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} + 2x - 7 = 0 \hfill \cr {x^2} + 8x + 19 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - 1 \pm 2\sqrt 2 \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - 2\sqrt 2 ;\, - 1 + 2\sqrt 2 {\rm{\} }}\) c) Đặt t = x2+ 3x, ta có phương trình: \(\eqalign{ & t(t + 4) = 5 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} + 3x - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} + 3x + 5 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {13} } \over 2} \cr} \) Vậy \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 \pm \sqrt {13} } \over 2}{\rm{\} }}\) Bài 18 trang 223 SGK Đại số 10 Nâng cao. Giải các bất phương trình a) 3x2 - |5x + 2| >0 b) \(\sqrt {2{x^2} + 7x + 5} > x + 1\) c) \(\sqrt {{x^2} + 4x - 5} \le x + 3\) Đáp án a) Ta có: \(\eqalign{ & 3{x^2} - \left| {5x + 2} \right| > 0 \Leftrightarrow |5x + 2| < 3{x^2} \cr & \Leftrightarrow - 3{x^2} < 5x + 2 < 3{x^2} \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{x^2} + 5x + 2 > 0 \hfill \cr 3{x^2} - 5x - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr x > - {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ x < - {1 \over 3} \hfill \cr x > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr - {2 \over 3} < x < - {1 \over 3} \hfill \cr x > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy: \(S = ( - \infty ,\, - 1) \cup ( - {2 \over 3}; - {1 \over 3}) \cup (2, + \infty )\) b) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {2{x^2} + 7x + 5} > x + 1 \cr & \Leftrightarrow \,\,\left[ \matrix{ (I)\,\left\{ \matrix{ x + 1 < 0 \hfill \cr 2{x^2} + 7x + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr (II)\left\{ \matrix{ x + 1 \ge 0 \hfill \cr 2{x^2} + 7x + 5 > {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.\, \hfill \cr} \right. \cr} \) Ta có: \((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x < - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - {5 \over 2} \hfill \cr x \ge - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - {5 \over 2}\) \((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr {x^2} + 5x + 4 > 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr \left[ \matrix{ x < - 4 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > - 1\) Vậy: \(S = ( - \infty ;\, - {5 \over 2}{\rm{]}}\, \cup ( - 1;\, + \infty )\) c) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} + 4x - 5} \le x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 3 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 4x - 5 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 4x - 5 \le {(x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 3 \hfill \cr \left[ \matrix{ x \le - 5 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge - 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1 \cr} \) Vậy \(S = [1, +∞)\) Bài 19 trang 223 SGK Đại số 10 Nâng cao. Điểm thi của 32 học sinh trong kỳ thi tiếng anh (thang điểm 100) như sau: a) Tính số trung vị trung bình (chính xác đến hàng trăm) b) Tính số trung vị c) Hãy trình bày mẫu số liệu trên dưới dạng bảng phân bố tần số ghép lớp với các nửa khoảng [40, 50); [50, 60); ...; [90, 100) Đáp án a) Số trung bình: \(\overline x = 66,66\) b) Số trung vị: \({M_e} = 65,5\) c) Bảng phân bố tần số ghép lớp LớpTần số[40, 50)4[50, 60)6[60, 70)10[70, 80)6[80, 90)4[90, 100)2N = 32 Bài 20 trang 223 SGK Đại số 10 Nâng cao. Một siêu thị thu được các số liệu sau đây về số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà mỗi người đã mua ở đây: LớpGiá trị đại diệnTần số[0, 99)20[100, 199)80[200, 299)70[300, 399)30[400, 499)10N = 210a) Dấu hiệu điều tra ở đây là gì? b) Tìm số trung bình, phương sai và đọ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm). Đáp án a) Dấu hiệu: Số tiền mua hàng Đơn vị điều tra: Một hành khách mua hàng trong siêu thị LớpGiá trị đại diệnTần số[0, 99)49,520[100, 199)149,580[200, 299)249,570[300, 399)349,530[400, 499)449,510N = 210b) Ta có: \(\overline x = 216,17\) nghìn đồng \(s^2≈ 9841,27\) \(s ≈ 99, 20\) nghìn đồng
