Tóm tắt lý thuyết Ví dụ 1: (Bài toán cổ Hi Lạp) - Thưa Py-ta-go lỗi lạc, trường của người có bao nhiêu môn đệ? Nhà hiền triết trả lời: - Hiện nay, một nửa đang học Toán, một phần từ đang học nhạc, một ngồi yên suy nghĩ. Ngoài ra còn có ba phụ nữ. Hỏi trường Đại học Py-ta-go có bao nhiêu người? Giải Gọi x là số người trong trường Đại học của Py-ta-go, điều kiện \(x \in {N^*}.\) Vì: Một nửa đang học Toán, tức là có \(\frac{x}{2}.\) Một phần tử đang học Nhạc, tức là có \(\frac{x}{4}.\) Một phần bảy ngồi yên suy nghĩ, tức là có \(\frac{x}{7}.\) Tổng số những người học Toán, Nhạc ngồi yên suy nghĩ và ba phụ nữ bằng số môn đệ của trường nên: \(\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x \Leftrightarrow 14x + 7x + 4x + 3.28 = 28x\) \( \Leftrightarrow 25x + 84 = 28x \Leftrightarrow 3x = 84 \Leftrightarrow x = 28\) thoả mãn điều kiện. Vậy trường Đại học của Py-ta-go có 28 người. Ví dụ 2: Hiệu hai số bằng 4, tỉ số giữa chúng bằng \(\frac{3}{2}.\) Tìm hai số đó. (5) Giải Gọi số lớn là x. Từ giả thiết: Hiệu hai số bằng 4, suy ra số nhỏ là x – 4 Tỉ số giữa chúng bằng \(\frac{3}{2}\), suy ra \(\frac{x}{{x - 4}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2x = 3(x - 4)\) \( \Leftrightarrow 2x = 3x - 12 \Leftrightarrow x = 12\) Vậy hai số cần tìm là 12 và 8. Ví dụ 3: Một phân số có từ số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 5 đơn vị thì được một phân số bằng \(\frac{2}{3}.\) Tìm phân số ban đầu. Giải Gọi tử số là x. Từ giả thiết: Tử số bé hơn mẫu số là 11, suy ra mẫu số là x + 11 Và khi đó phân số dạng \(\frac{x}{{x + 11}}\) Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 5 đơn vị thì được một phân số bằng \(\frac{2}{3}\), suy ra: \(\frac{{x + 3}}{{(x + 11) - 5}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x + 6}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3(x + 3) = 2(x + 6)\) \( \Leftrightarrow 3x + 9 = 2x + 12 \Leftrightarrow x = 3.\) Vậy phân số cần tìm là \(\frac{3}{{14}}\) Bài tập minh họa Bài 1: Có hai ngăn sách, trong đó số sách ở ngăn I gấp ba số sách ở ngăn II. Sau khi chuyển 20 cuốn sách từ ngăn I sang ngăn II thì số sách ở ngăn II bằng \(\frac{5}{7}\) số sách ở ngăn I. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu. Giải Gọi số sách trong ngăn thứ II là x. Từ giả thiết: Số sách ở ngăn I gấp ba số sách ở ngăn II, suy ra nó có 3x cuốn. Sau khi chuyển 20 cuốn sách từ ngăn I sang ngăn II thì * Số sách ở ngăn I còn 3x – 20 cuốn * Số sách ở ngăn II là x + 20 cuốn Khi đó, ta có: \(x + 20 = \frac{5}{7}(3x - 20) \Leftrightarrow 7x + 140 = 15x - 100 \Leftrightarrow 8x = 240 \Leftrightarrow x = 30\) Vậy số sách ở ngăn thứ I bằng 90 cuốn và số sách ở ngăn thứ II bằng 30 cuốn. Bài 2: Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số ấy tăng thêm 1219 đơn vị. Giải Gọi x là số cần tìm. Từ giả thiết: Khi viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó, ta được số mới có giá trị bằng 10x + 4 Khi đó, ta có: \(10x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1219 \Leftrightarrow 9x = 1215 \Leftrightarrow x = 135\) Vậy số cần tìm là 135. Bài 3: Một người đi từ A để đến B, vận tốc 30km/h. Lúc từ B về A, người đó đi với vận tốc 40km/h, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB. Giải Gọi x là độ dài quãng đường AB. Từ giả thiết: Người đó đi từ A đến B hết \(\frac{x}{{30}}\) giờ. Người đó đi từ B về A hết \(\frac{x}{{40}}\) giờ. Khi đó, ta có: \(\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{40}} = \frac{{45}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{{15}}{2} \Leftrightarrow 4x - 3x = 90 \Leftrightarrow x = 90\) Vậy quãng đường AB dài 90km.
