Bài 75 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Làm tính nhân: a) \(5{x^2}.\left( {3{x^2} - 7x + 2} \right);\) b) \({2 \over 3}xy.\left( {2{x^2}y - 3xy + {y^2}} \right)\) Giải a) \(5{x^2}.\left( {3{x^2} - 7x + 2} \right)\) \(= 5{x^2}.3{x^2} - 5{x^2}.7x + 5{x^2}.2\) \(= 15{x^4} - 35{x^3} + 10{x^2}\) b) \({2 \over 3}xy.\left( {2{x^2}y - 3xy + {y^2}} \right)\) \(= {2 \over 3}xy.2{x^2}y - {2 \over 3}xy.3xy + {2 \over 3}xy.{y^2}\) \(= {4 \over 3}{x^3}{y^2} - 2{x^2}{y^2} + {2 \over 3}x{y^3}\) Bài 76 trang 33 sgk toán 8 tập 1. a) \(\left( {2{x^2} - 3x} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 1} \right)\) b) \(\left( {x - 2y} \right)\left( {3xy + 5{y^2} + x} \right)\) . Giải a) \(\left( {2{x^2} - 3x} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 1} \right)\) = \(2{x^2}.5{x^2} - 2{x^2}.2x + 2{x^2}.1 - 3x.5{x^2} +(- 3x).(-2x) - 3x\) = \(10{x^4} - 4{x^3} + 2{x^2} - 15{x^3} + 6{x^2} - 3x\) = \(10{x^4} - 19{x^3} + 8{x^2} - 3x\) b) \(\left( {x - 2y} \right)\left( {3xy + 5{y^2} + x} \right)\) = \( x.3xy + x.5{y^2} + x.x - 2y.3xy - 2y.5{y^2} - 2y.x\) . = \(3{x^2}y + 5x{y^2} + {x^2} - 6x{y^2} - 10{y^3} - 2xy\) = \(3{x^2}y - x{y^2} - 2xy + {x^2} - 10{y^3}\) Bài 77 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Tính nhanh giá trị của biểu thức: a) \(M = {x^2} + 4{y^2} - 4xy\) tại \(x = 18\) và \(y = 4\) b) \(N = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3}\) tại \(x = 6\) và \(y =- 8\). Hướng dẫn làm bài: a) \(M = {x^2} + 4{y^2} - 4xy\) \(= {x^2} - 2.x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\) \(= {\left( {x - 2y} \right)^2}\) Thay \(x = 18, y = 4\) ta được \(M = {\left( {18 - 2.4} \right)^2} = {\left( {10} \right)^2} = 100\) b) \(N = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3}\) \(= {\left( {2x} \right)^3} - 3{\left( {2x} \right)^2}y + 3.2x{y^2} - {y^3}\) \(= {\left( {2x - y} \right)^3}\) Thay \(x = 6, y = - 8\) ta được \(N = {\left( {2.6 - \left( { - 8} \right)} \right)^3} = {20^3} = 8000\) Bài 78 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Rút gọn các biểu thức sau : a) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)\) ; b) \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 1} \right)^2} + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\) . Giải a) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \) =\( {x^2} - {2^2} - \left( {{x^2} + x - 3x - 3} \right)\) =\({x^2} - 4 - {x^2} - x + 3x + 3\) =\(2x-1\) ; b) \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 1} \right)^2} + 2\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\) =\({\left( {2x + 1} \right)^2} + 2.\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) + {\left( {3x - 1} \right)^2}\) =\({\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {3x - 1} \right)} \right]^2}\) = \({\left( {2x + 1 + 3x - 1} \right)^2}\) =\({\left( {5x} \right)^2} = 25{x^2}\) Bài 79 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \({x^2} - 4 + {\left( {x - 2} \right)^2}\) ; b) \({x^3} - 2{x^2} + x - x{y^2}\) ; c) \({x^3} - 4{x^2} - 12x + 27\). Hướng dẫn làm bài: a) \({x^2} - 4 + {\left( {x - 2} \right)^2}\) = \(\left( {{x^2} - {2^2}} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2}\) =\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2}\) =\(\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \right]\) =\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 + x - 2} \right)\) =\(\left( {x - 2} \right)\left( {2x} \right)\) =\(2x\left( {x - 2} \right)\) b) \({x^3} - 2{x^2} + x - x{y^2}\) =\(x\left( {{x^2} - 2x + 1 - {y^2}} \right)\) =\(x\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {y^2}} \right]\) =\(x\left( {x - 1 - y} \right)\left( {x - 1 + y} \right)\) c) \({x^3} - 4{x^2} - 12x + 27\) = \(\left( {{x^3} + 27} \right) - \left( {4{x^2} + 12x} \right)\) =\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right) - 4x\left( {x + 3} \right)\) =\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9 - 4x} \right)\) =\(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 7x + 9} \right)\) Bài 80 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Làm tính chia: a) \(\left( {6{x^3} - 7{x^2} - x + 2} \right):\left( {2x + 1} \right)\) b) \(\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} + 3x} \right):\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\) ; c) \(\left( {{x^2} - {y^2} + 6x + 9} \right):\left( {x + y + 3} \right)\) . Hướng dẫn làm bài: b) c) \(\left( {{x^2} - {y^2} + 6x + 9} \right):\left( {x + y + 3} \right)\) =\(\left( {{x^2} + 6x + 9 - {y^2}} \right)\left( {x + y + 3} \right)\) =\(\left[ {\left( {{x^2} + 2x.3 + {3^2}} \right) - {y^2}} \right]:\left( {x + y + 3} \right)\) =\(\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^2} - {y^2}} \right]:\left( {x + y + 3} \right)\) =\(\left( {x + 3 - y} \right)\left( {x + 3 + y} \right):\left( {x + y + 3} \right)\) = \(x + 3 - y\) = \(x - y + 3\) Bài 81 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Tìm \(x\), biết: a) \({2 \over 3}x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) ; b) \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) ; c) \(x + 2\sqrt 2 {x^2} + 2{x^3} = 0\) . Giải a) \({2 \over 3}x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\) \({2 \over 3}x\left( {{x^2} - {2^2}} \right) = 0\) \({2 \over 3}x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) Hoặc \(x = 0\) Hoặc \(x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) Hoặc \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\) Vậy \(x = 0,x = - 2,x = 2\) b) \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) \(\left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right] = 0\) \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - x + 2} \right) = 0\) \(\left( {x + 2} \right).4 = 0\) \(x + 2 = 0\) \(x = - 2\) Vậy \(x=-2\) c) \(x + 2\sqrt 2 {x^2} + 2{x^3} = 0\) \(x\left( {1 + 2\sqrt 2 x + 2{x^2}} \right) = 0\) \(x(1^2 + 2\sqrt 2 x .1+ {\left( {\sqrt 2 x} \right)^2}) = 0\) \(x{\left( {1 + \sqrt 2 x} \right)^2} = 0\) Hoặc \(x = 0\) Hoặc \({\left( {1 + \sqrt 2 x} \right)^2} = 0 \Rightarrow 1 + \sqrt 2 x = 0\Rightarrow x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) Vậy \(x = 0,x = - {1 \over {\sqrt 2 }}\) Bài 82 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Chứng minh: a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\); b) \(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\). Giải a) \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\) Ta có \({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\) =\({\left( {x - y} \right)^2} + 1 > 0\) do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\). b) \(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\). Ta có \(x - {x^2} - 1 = - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\) =\( - \left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\) = \( - \left[ {{x^2} - 2x.{1 \over 2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}} \right] - {3 \over 4}\) =\( - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {3 \over 4} < 0\) với mọi \(x\) do \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \(-{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\) Bài 83 trang 33 sgk toán 8 tập 1. Tìm \(n \in\mathbb Z\) để \(2{n^2} - n + 2\) chia hết cho \(2n +1\). Giải Ta có: \({{2{n^2} - n + 2} \over {2n + 1}} = {{2{n^2} + n - 2n - 1 + 3} \over {2n + 1}}\) =\({{n\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} = {{\left( {2n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} = n - 1 + {3 \over {2n + 1}}\) Để \(2{n^2} - n + 2\) chia hết cho \(2n + 1\) (với \(n \in\mathbb Z)\) thì \(2n + 1\) phải là ước của \(3\). Do đó: \(2n + 1 = 1 = > 2n = 0 = > n = 0\) \(2n + 1 = - 1 = > 2n = - 2 = > n = - 1\) \(2n + 1 = 3 = > 2n = 2 = > n = 1\) \(2n + 1 = - 3 = > 2n = - 4 = > n = - 2\) Vậy \(n = 0; -1; -2; 1\)
